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1、2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,1,第1章 概率分布 Probability Distribution,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,2,事件和概率：讨论描述随机现象及其统计规律的术语及概念、现象发生可能性的计量、相互关系和运算； 随机变量及分布：讨论随机现象的确定性数学表达，相同条件、大量重复观测下随机变量所遵循的取值规律； 数字特征：讨论分布特征的数字表达； 大数定律：讨论重复试验次数对频率和均值观测稳定性的影响。,1 概率分布,本章内容,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,3,1.1 事件与概率 Event and Probabi
2、lity,1 概率分布,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,4,自然界存在两种现象，确定性现象：一定条件下必然发生；随机性现象：一定条件下可能发生，但结果不止一个，哪个结果发生预先并不知道。 随机现象虽然表现为不确定性，但在大量、相同条件重复试验下，其观测结果会呈现出某种特定的规律，称作随机现象的统计规律。比如，多次抛掷一枚均质硬币，正面朝上的频率接近0.5。,随机现象(Random Phenomenon),1.1 事件与概率,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,5,数理统计学就是研究大量的随机现象，但限定为一类特定的随机现象，即在相同条件重复试验下所能观测到的
3、随机现象。它研究随机现象的发生机制、统计规律和统计特征，研究解决工程实际问题的统计方法。,随机现象(Random Phenomenon),1.1 事件与概率,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,6,1.1.1 事件 Random Event,1.1 事件与概率,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,7,满足下述三个条件的试验称为随机试验： （1）试验可在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定会出现哪一个结果。 随机试验在统计学里可简称为试验。,1.1.1 事
4、件,(1)随机试验(Random Experiment),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,8,1.1.1 事件,E1：一枚硬币抛一次，观察出现哪一面； E2：一枚硬币抛三次，观察正反面的排列； E3：一枚硬币抛三次，观察正面出现的次数； E4：一颗骰子抛一次，观察出现的点数； E5：在一批灯泡产品中，测定任一只的寿命； E6：在一批灯泡产品中，测定任一只的阻值。 E7：在一超市里，观察每10分钟进来的人数；,(1)随机试验(Random Experiment),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,9,广义地讲，对任何一个特定对象的随机抽查或观测，均可看作是随
5、机试验。比如，多次抛一枚均质硬币是随机试验，观测一个种族的身高、体重等是随机试验，观测某作物的株高是随机试验，观测条件近似动物对某种药物的生理反应是随机试验，小区测产是随机试验，等等。,1.1.1 事件,(1)随机试验(Random Experiment),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,10,1.1.1 事件,随机试验的每一个可能结果，称作基本事件（elementary event），亦称作简单事件（simple event），基本事件是描述随机试验不可能再分的事件。,(2)基本事件(Elementary Event),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,
6、11,1.1.1 事件,抛硬币试验，正面朝上是一个基本事件，反面朝上也是一个基本事件。观测一个种族的身高状况，1.75米是一个基本事件，1.83米是一个基本事件，1.45米也是一个基本事件。小区测产，25.4kg是一个基本事件，26.7kg也是一个基本事件。花括弧括内容表达事件，常用于利用文字或表达式陈述事件的场合。,(2)基本事件(Elementary Event),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,12,1.1.1 事件,由若干个基本事件组合而成的事件，称作复合事件（compound event），也称作复杂事件。 通常所说的随机事件（random event）是基本事件
7、和复合事件的统称，即可指基本事件又可指复合事件。,(3)复合事件(Compound Event),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,13,事件A=HHH,HHT,HTH,HTT表示“第一次出现的是正面” 用t表示灯泡的使用寿命（h），则 事件B1=t1000表示“灯泡是次品” 事件B2=t1000表示“灯泡是合格品” 事件B3=t1500表示“灯泡是一级品”,1.1.1 事件,(3)复合事件(Compound Event),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,14,1.1.1 事件,连续两次抛掷一枚硬币，均出现正面是一个复合事件，出现一正一反是一个复合事件，均
8、出现反面也是一个复合事件。观测一个种族分区域的身高，平均1.77米、平均1.68米均是复合事件。小区测产，产量在10kg20kg之间是一个复合事件，产量在20kg30kg之间也是一个复合事件。,(3)复合事件(Compound Event),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,15,1.1.1 事件,每次试验中一定发生的事件称作必然事件（certain event），在任何一次试验中都不可能发生的事件称作不可能事件（impossible event）。 随机事件简称作“事件”，而将不可能事件和必然事件视作随机事件的两个极端事件。,(4)必然事件与不可能事件(Certain an
9、d Impossible Event),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,16,掷一枚均质硬币试验，出现两个面之一是必然事件，两个面谁也不出现是不可能事件。小区测产，产量小于0kg是不可能事件，产量大于等于0kg是必然事件。,1.1.1 事件,(4)必然事件与不可能事件(Certain and Impossible Event),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,17,我们称一个随机事件发生，当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现,1.1.1 事件,考察抛一枚硬币的试验，事件 A=出现正面 若试验结果为出现反面，则事件A未发生 若试验结果为出现正面，则事
10、件A发生 考察小区测产的事件 A=产量大于10kg 若试验结果为11.2kg，则事件A发生 若试验结果为5.4kg，则事件A未发生,(5)事件发生(Event come about),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,18,1.1.2 概率 Probability,1.1 事件与概率,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,19,用于度量事件发生可能性大小的数值称作事件的概率（probability）。事件通常可用大写字母表示，如A、B等，相应的概率可用P(A)、P(B)等表示。,1.1.2 概率,(1)事件的概率,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分
11、布,20,概率具有下述性质： 设A为任一事件，则0P(A)1； 对于必然事件，有P()=1； 对于不可能事件，有P()=0。,1.1.2 概率,(2)概率的性质,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,21,不可能事件P()=0，必然事件P()=1。但反过来不成立，因为概率只代表“可能性”的大小，可能性为0的事件不一定总不发生，可能性为1的事件不一定总是发生 比如小区测产，事件产量是25kg的概率等于0，但它不一定总不发生；事件产量不是25kg的概率等于1，但它不一定总是发生,1.1.2 概率,(2)概率的性质,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,22,在相同的条件
12、下进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数nA 称为事件A发生的频数。比值nA/n 称为事件A发生的频率，并记成fn(A)，即,1.1.2 概率,(3)概率的统计定义,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,23,历史上曾有几个著名的抛一枚均质硬币试验，试验者观测了抛掷次数、正面出现次数和正面出现频率等。结果发现，频率在0.5附近摆动，详见表1.1。试验重复次数愈大频率与0.5的偏差愈小，表现出向0.5稳定趋近的倾向，因此预测事件的概率为0.5。试验次数愈大，事件频率在某个定值两侧摆动的幅度愈小，称作事件频率具有稳定性。,1.1.2 概率,(3)概率的统计定义,2019/
13、6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,24,251 249 256 253 251 246 244 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012,nA fn(A),n=500时抛硬币试验,实 验 者 德摩根 蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊,n nH fn(H),2048 4040 12000 24000,1061 2048 6019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,表1.1,1.1.2 概率,(3)概率的统计定义,2019/6/2
14、0,王玉顺：数理统计01_概率分布,25,1.1.2 概率,随试验次数n的增大，若事件A的频率fn(A)越来越幅度变小地在某一常数p两侧摆动，则称常数p为事件A的概率(probability)，记作P(A)=p。称此陈述为概率的统计定义。(statistical probability)。,(3)概率的统计定义,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,26,1.2 随机变量及分布 Random Variable and Probability Distribution,1 概率分布,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,27,前面事件与概率的研究仅仅实现了随机现象及其
15、关系的概念描述，远没有达到工程应用的程度，难于解决复杂多样的实际问题； 引入人们熟悉的微积分实现随机现象的数值化定量分析，使能用计算机高效地处理工程实际的统计学问题； 随机变量及其分布的理论和方法，实质上就是利用确定性数学方法研究和解决随机数学（统计学）问题。,1.2 随机变量及分布,(1)随机现象定量分析的意义,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,28,实施某随机试验，若用实数变量X表示试验结果，则X的取值明确可知且不止一个，试验前并不知道X会取那个值，表征随机试验结果的实数变量X称作随机变量； X的值用实数x表示，即一次试验的结果，是所有可能试验结果中的一个，称x为X的观察
16、值，简称观测(observation)；,(2)随机变量(Random Variable),1.2 随机变量及分布,2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,29,由于随机变量X量化（数值化或数字化）表达了随机试验结果，因此它也具有随机试验的三个基本特征： 随机变量X可在相同条件下重复观测； 随机变量X的所有可能值明确可知，并且不止一个； 每次观测总是恰好获得X所有可能值中的一个，但观测前却不能肯定是哪一个。,1.2 随机变量及分布,(2)随机变量(Random Variable),2019/6/20,王玉顺：数理统计01_概率分布,30,掷一枚均质硬币试验：样本空间1=H,T，随机变量表达该问题，以“X=1”表示正面向上的事件，以“X=0”表示反面向上的事件； 掷一枚骰子试验：样本空间=1,2
