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1、第46讲 插值,数学建模,引例,我们在高中时都学习过查找对数表，如果要找的数据表中找不到，怎么办？,如果我们要找0.54处的对数值，怎么办？,这实际上是一个插值问题。,数学建模,在实际问题中，有时候没有办法分析出x与y之间的函数关系 ，只能通过测量或实验得到的一组数据，即通过曲线 的一些点，,来找到这种关系。如果不知道的一些其它信息，这个问题是不可能的。,插值问题就是通过这些已知数据寻找一个近似函数 ，用它来近似地代替 。根据所讨论的问题的不同特点，我们可以选取不同类型的 ，例如：多项式、三角函数、有理函数等等。,数学建模,问题：构造一个插值多项式 来近似的代替 ，使其满 足：1） 是一个次数
2、不高于n的多项式； 2） 设 ，求系数的值，即解方程组,Lagrange插值,系数行列式是一个范德蒙德行列式，所以当 互不相同的时候，问题中的 一定存在且唯一存在。,当n很大的时候，求解这个方程组很麻烦。,数学建模,从另一种角度构造,问题就变为找到一个一次多项式使它的函数曲线经过两个点 、 。过两点的一次多项式函数就是一条直线。由直线方程的两点式可知,这种插值问题被称为线性插值。,那么更一般的情况呢？,数学建模,设 其中 是一个次数不超过n的多项式，这样这种 一定满足问题的条件1）。 寻找 使这种 满足条件2）。类似于线性插值问题， 应该只与 有关，则它满足,数学建模,又 ，,称 为插值节点，
3、 为n次插值多项式， 为被插值函数。寻找的问题就称为是n次Lagrange插值问题。,数学建模,Runge现象,信息越多（n越大）， 代替 的效果越好？,-1,1区间上的函数 进行10次插值， 把-1,1区间10等分，产生的11个点做为插值节点，,插值多项式在-0.2,0.2内，逼近效果很好；但是在其它地方，尤其是区间端点附近误差很大。这种现象被称为是Runge（龙格）现象，只有在高次插值时才会发生。,避免使用高次插值,数学建模,分段线性插值,问题：找一个分段函数 ，使其满足 （1） ； （2）在每个小区间 上， 是一个一次多项式； 这样的 称为分段线性插值函数。 在区间 上， 是过两个点 的
4、线性插值多项式,数学建模,三次样条插值,分段线性插值虽然计算简单、可以避免龙格现象，但是光滑性比 较差（在插值节点处已一阶导数不存在）。但是很多实际问题要 求所求分段曲线整体具有二阶导数。,设在区间 上给定n+1 个节点 ， ，若 满足： 1） 在每个小区间 上 是三次多项式； 2） 在 上有连续导数。 则称 为三次样条函数。,已知函数 在这些节点上的值 。若三次样条函数 满足插值条件 则称 为三次样条插值函数。,如果要唯一确定 ，还必续增加关于 和 处的一阶或二阶导数的条件。,数学建模,折线代替曲线，近似效果很好；但是折线在插节点处导数不存在。,数学建模,Matlab中的插值函数interp1,语法： yi=interp1(x,y,xi,method) x为插值节点构成的向量，y为插值节点处的函数值构成的向量，返回插值函数在xi点处的值yi；method表示使用的方法。如果此处省略表示默认差值方法为分段线性插值。method可选方法见下表：,数学建模,-1,1区间上的函数 进行三次样条插值，把区间10等分，产生的11个点作为插值节点。,Thank you,插值,
