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1、数 学 建 模,数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 勒内笛卡尔,第4章 概率与随机模型,数学建模,报童模型,内容,1,供货时间随机的货物存储模型,2,钢琴库存策略评价模型,4,生产方案的设计模型,3,随机预测模型,5,第18讲 供货时间随机的货物存储模型 生产方案的设计模型,第4章 概率与随机模型,在允许缺货模型中，供货时间往往不能事先预知，而是在某时刻提出订货需求，然后在一段随机长度时间后，货物才能到来，即供货时间为随机变量。这就是供货时间为随机的货物存储问题。 问题 已知商品订货费为c1，每件商品单位时间的储存费为c2、缺货费为c3，单位时间商品需求量为r（常值）。在订货点L订货，
2、供货时间x是连续型随机变量，其取值为 x1, x2, ，概率密度函数为p(x)。,数学建模,4.2 供货时间随机的货物存储模型,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,问题：供货过程如下图。当贮存量q(t)降到订货点L时订货，订货量使下一周期初的贮存量达到固定值Q。 为了使总费用最小，选择合适的目标函数建立数学模型, 确定最佳订货点L。,问题分析 总费用包含三个部分：订货费、储存费和缺货费； 储存费和缺货费依赖于供货时间 x的取值； 将总费用表示为随机变量 x的函数，再求出总费用的数学期望，并作为目标函数； 运用优化方法求出最佳的订货点L。,数学建模,4.2 供货时间随机的货物存储模型,
3、模型建立 当储存量为L时，订货，订货时刻 一个周期总时间为 周期末的库存量为,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,一个订货周期内的总费用,一个周期总费用为：订货费与存储费之和,一个周期内的总费用为：订货费、存储费及缺货费之和,缺货,数学建模,一个周期的总费用为,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,单位时间的平均总费用为,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,已知x的概率密度函数为p(x) ，所以单位时间平均总费用的数学期望为,关于L的函数，采用函数极值方法可得最佳订货点。,4.2 供货时间随机的货物存储模型,一般无法求出解析结果,数值计算,数学建模,求最佳订货点使单
4、位时间的费用最小,最优订货点大致在L=500左右,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,结果分析,平均到货时间,平均到货时间越长，最优订货点L越大，与事实相符。,4.2 供货时间随机的货物存储模型,最优订货点大致在L=250左右,许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成，其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的。 中心极限定理表明：若一个量受许多随机因素（主导因素除外）的共同影响而随机取值，则它的分布就近似服从正态分布。 利用这一理论可解决实际中的很多问题，如生产方案的设计问题。,数学建模,4.3 生产方案的设计模型,问题： 某商品的需求是随机的，因为消费者在一定时期内
5、 是否购买该商品具有随机性。 当厂家的产量大于需求量时，会导致商品积压； 当厂家的产量小于需求量时，供给难以满足需求。 试解决如下三类问题： 1）某工厂负责供应某地区n个家庭的商品供应，在 一段时间内每个家庭购买一件该商品的概率为p，假定 在这段时间内每个家庭购买与否彼此独立，现该工厂仅 生产M1件商品，试估计能满足该地区人们需求的概率 。,数学建模,4.3 生产方案的设计模型,数学建模,2）若工厂至少要保证有 的概率满足该地区该产品的需求，试求该工厂需要生产商品的件数M2 。 3）如果该商品的次品率为p, 而在一段时间内共需M3件该商品，且要求至少有 的概率来保证居民购买到的是正品，求该工厂
6、的生产量M3。,上述三类问题中均存在服从某个参数的二项分布，在参数n相对较大的前提下，可以应用中心极限定理近似求解此问题。,问题分析,1）若记 该地区购买商品总数量 服从参数为(n,p) 的 二项分布。 由中心极限定理可知，当n充分大时 Tn近似地服从 正态分布，于是,数学建模,4.3 生产方案的设计模型,模型建立与求解,满足该地区人们需求的概率,2）若记 ，则需生产的商品件数M2必须满足,数学建模,该工厂至少需要生产 件商品才能保证至少有 的概率满足该地区该产品的需求。,4.3 生产方案的设计模型,3）考虑产品中存在次品的情况,数学建模,要满足至少有 的概率来保证居民购买到的是正品,中心极限
7、定理,生产量S满足的条件,4.3 生产方案的设计模型,数值算例 设某洗衣机厂生产洗衣机以满足某地区1000个家庭的需求，经验表明：每一用户对该洗衣机的年需求量服从 参数为1的泊松分布，现在该厂这种洗衣机的年产量为1100台，回答下面问题：,数学建模,1）求能够满足该地区需求的概率是多少？,2）若该厂要有97.5%的概率满足客户的需求，则 该厂每年至少生产多少台这种洗衣机？,3）该厂的洗衣机的出厂正品率为98%，现估计一年内该地区的社会总需求量为900台，则为了有99.9%的概率保证客户购买到的是正品洗衣机，则该厂该年至少生产多少台洗衣机?,4.3 生产方案的设计模型,求解 设这1000户家庭对
8、这种洗衣机的年需求量相互独立, 且依次记为 服从参数为1 的泊松分布 设T1000为1000个家庭对这种洗衣机的年需求总量,数学建模,独立同分布 中心极限定理,近似服从正态分布 N(1000,1000),4.3 生产方案的设计模型,1）现在该厂的年产量为1100台，则能满足客户需求的概率为 2）若该厂要有97.5%的概率满足需求，则设该厂安排年产量为M台，则M应满足：,数学建模,4.3 生产方案的设计模型,3）该厂该年至少生产多少台洗衣机? S: 当洗衣机正品率为98%时的生产量 :表示第i台洗衣机的正次品情况 : S台洗衣机中的次品总数 : S台洗衣机中的正品总数,数学建模,服从参数为S和0.02的二项分布,4.3 生产方案的设计模型,数学建模,故产量的最小值应为932台。此时，应生产出932台洗衣机才能有99.9%的概率使得顾客买到的是正品。,中心极限定理,近似服从正态分布N(0.02S, 0.0196 S),查正态分布表,4.3 生产方案的设计模型,Thank you,
