《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §4 第2课时 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §4 第2课时 （19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 课时课时 用空间向量解决立体几何中的垂直问题用空间向量解决立体几何中的垂直问题 学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明 有关空间线面垂直关系的方法步骤 知识点一 向量法判断线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b(b1，b2，b3)，则 lmab0a1b1a2b2a3b30. 知识点二 向量法判断线面垂直 设直线 l 的方向向量 a(a1，b1，c1)，平面 的法向量 (a2，b2，c2)，则 laak(kR) 知识点三 向量法判断面面垂直 思考 平面 ， 的法向量分别为 1(x1，y1，z1
2、)，2(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两 平面 ， 垂直的关系式是什么？ 答案 x1x2y1y2z1z20. 梳理 若平面 的法向量为 (a1，b1，c1)，平面 的法向量为 (a2，b2，c2)，则 0a1a2b1b2c1c20. 1平面 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量() 2两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直() 3直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直() 4两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂 直() 类型一 线线垂直问题 例 1 如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 1，M
3、是底面上 BC 边的中点，N 是 侧棱 CC1上的点，且 CN CC1.求证：AB1MN. 1 4 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 证明 设 AB 中点为 O，作 OO1AA1.以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，OC 所在直 线为 y 轴，OO1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 由已知得 A， ( 1 2，0，0) B，C， ( 1 2，0，0) (0， 3 2 ，0) N，B1， (0， 3 2 ，1 4) ( 1 2，0，1) M 为 BC 中点， M. ( 1 4， 3 4 ，0) ，(1,0,1)， MN ( 1 4
4、， 3 4 ，1 4) AB1 0 0. MN AB1 1 4 1 4 ，AB1MN. MN AB1 反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线 的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直 跟踪训练 1 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证： ACBC1. 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 证明 直三棱柱 ABCA1B1C1底面三边长 AC3，BC4，AB5，AC，BC，C1C 两 两垂直 如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系 Cx
5、yz. 则 C(0,0,0)，A(3,0,0)， C1(0,0,4)，B(0,4,0)， (3,0,0)， AC (0，4,4)， BC1 0.ACBC1. AC BC1 类型二 证明线面垂直 例 2 如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中点 求证：AB1平面 A1BD. 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 证明 如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO. 因为ABC 为正三角形，所以 AOBC. 因为在正三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC平面 BCC1B1，且平面 ABC平面 BCC1B1BC，AO?平面 ABC，所
6、以 AO平面 BCC1B1. 取 B1C1的中点 O1，以 O 为坐标原点，OB，OO1，OA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0) 33 所以(1,2，)，(1,2，)， AB1 3 BA1 3 (2,1,0) BD 因为1(1)22()0. AB1 BA1 33 1(2)21()00. AB1 BD 3 所以，即 AB1BA1，AB1BD. AB1 BA1 AB1 BD 又因为 BA1BDB，BA1，BD?平面 A1BD.所以 AB1平面 A1BD. 反思与感悟
7、 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系 (2)将直线的方向向量用坐标表示 (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量 (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系 (2)将直线的方向向量用坐标表示 (3)求出平面的法向量 (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行 跟踪训练 2 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点 P 为 DD1的 中点求证：直线 PB1平面 PAC. 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 证明 如图，以 D 为坐标原点，DC，DA，D
8、D1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系 Dxyz， C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)， (1,0，1)，(0,1，1)， PC PA (1,1,1)， PB1 (1,1,1)(1,0，1)0， PB1 PC 所以，即 PB1PC. PB1 PC 又(1,1,1)(0,1，1)0， PB1 PA 所以，即 PB1PA. PB1 PA 又 PAPCP，PA，PC?平面 PAC， 所以 PB1平面 PAC. 类型三 证明面面垂直问题 例 3 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 A1B1C1，BAC90，A
9、1A平面 ABC，A1A，ABAC2A1C12，D 为 BC 的中 3 点证明：平面 A1AD平面 BCC1B1. 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 证明 方法一 如图，以 A 为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)， C(0,2,0)，A1(0,0，)， 3 C1(0,1，) 3 D 为 BC 的中点，D 点坐标为(1,1,0)， (1,1,0)，(0,0，)，(2,2,0)， AD AA1 3 BC 1(2)12000， AD BC 0(2)0200， AA
10、1 BC 3 ， AD BC AA1 BC BCAD，BCAA1. 又 A1AADA，A1A，AD?平面 A1AD， BC平面 A1AD. 又 BC?平面 BCC1B1，平面 A1AD平面 BCC1B1. 方法二 同方法一建系后，得(0,0，)， AA1 3 (1,1,0)，(2,2,0)，(0，1，) AD BC CC1 3 设平面 A1AD 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 平面 BCC1B1的法向量为 n2(x2，y2，z2) 由Error!Error!得Error!Error! 令 y11，则 x11，z10， n1(1，1,0) 由Error!Error!得Error!Erro
11、r! 令 y21，则 x21，z2， 3 3 n2. (1，1， 3 3) n1n21100，n1n2， 平面 A1AD平面 BCC1B1. 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明 (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 跟踪训练 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点 (1)求证：平面 AED平面 A1FD1； (2)在直线 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 AED. 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 (1)证明 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC
12、，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系 Dxyz. 设正方体的棱长为 2，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)， (2,0,0)，(2,2,1)，(0,1，2) DA D1A1 DE D1F 设平面 AED 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1) 由Error!Error! 得Error!Error! 令 y11，得 n1(0,1，2) 同理平面 A1FD1的一个法向量为 n2(0,2,1) n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2， 平面 AED平面 A1FD1. (2)
13、解 由于点 M 在直线 AE 上， 因此可设(0,2,1)(0,2，)， AM AE 则 M(2,2，)，(0,2，2) A1M 要使 A1M平面 AED，只需n1， A1M 即，解得 . 2 1 2 2 2 5 故当 AM AE 时，A1M平面 AED. 2 5 1下列命题中，正确命题的个数为( ) 若 n1，n2分别是平面 ， 的法向量，则 n1n2； 若 n1，n2分别是平面 ， 的法向量，则 n1n20； 若 n 是平面 的法向量，a 是直线 l 的方向向量，若 l 与平面 平行，则 na0； 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直 A1B2C3D4 考点 向量法求解平面与平面的
14、位置关系 题点 向量法解决面面垂直 答案 C 解析 中平面 ， 可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知正确 2已知两直线的方向向量为 a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) Aa(1,0,0)，b(3,0,0) Ba(0,1,0)，b(1,0,1) Ca(0,1，1)，b(0，1,1) Da(1,0,0)，b(1,0,0) 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 向量法解决线线垂直 答案 B 解析 因为 a(0,1,0)，b(1,0,1)，所以 ab0110010，所以 ab，故选 B. 3若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 (2,0，4)，则( ) AlBl ClDl 与 斜交 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 B 解析 a，l. 4平面 的一个法向量为 m(1,2,0)，平面 的一个法向量为 n(2，1,0)，则平面 与 平面 的位置关系是( ) A平行B相交但不垂直 C垂直D不能确定 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 答案 C 解析 (1,2,0)(2，1,0)0， 两法向量垂
