《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §6 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §6 （19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6 距离的计算距离的计算 学习目标 1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离、点到 平面的距离的计算.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲 知识点一 点到直线的距离 1点到直线的距离 因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面 内点到直线的距离问题 如图，设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定点 作 AAl，垂足为 A，则点 A 到直线 l 的距离 d 等于线段 AA的长度，而向量在 s PA 上的投影的大小|s0|等于线段 PA的长度，所以根据勾股定理有点 A 到直线 l 的距离 PA d. |P
2、A |2|PA s0|2 2点到直线的距离的算法框图 空间一点 A 到直线 l 的距离的算法框图，如图 知识点二 点到平面的距离 1求点到平面的距离 如图，设 是过点 P 垂直于向量 n 的平面，A 是平面 外一定点 作 AA，垂足为 A，则点 A 到平面 的距离 d 等于线段 AA的长度 而向量在 n 上的投影的大小|n0|等于线段 AA的长度，所以点 A 到平面 的距离 PA PA d|n0|. PA 2点到平面的距离的算法框图 空间一点 A 到平面 的距离的算法框图，如图所示 知识点三 直线到与它平行的平面的距离 如果一条直线平行于平面 ，那么直线上的各点向平面 所作的垂线段均相等，即直
3、线上 各点到平面 的距离均相等 一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离 知识点四 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的公垂线公垂线夹在两个平行平面之间 的部分，叫作两个平面的公垂线段 两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的距离 1点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离() 2直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离() 3两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离() 4平面 外一点 P 到平面 的距离在平面 内任一点与点 P 的距离中最短() 类型一 向量法求两点间的距离 例 1 如图所
4、示，已知在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，沿对角线 AC 折叠，使平面 ABC 与平面 ADC 垂直，求线段 BD 的长 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 解 过点 D 和 B 分别作 DEAC 于 E，BFAC 于 F. 则由已知条件可知 AC5， 所以 DE，BF. 3 4 5 12 5 3 4 5 12 5 由已知得 AECF ， AD2 AC 9 5 所以 EF52 . 9 5 7 5 因为， DB DE EF FB 所以|2()2 2222 22. DB DE EF FB DE EF FB DE EF DE FB EF FB 因为平面 ADC平面 ABC，平面
5、ADC平面 ABCAC，DE?平面 ADC，DEAC，所以 DE平面 ABC， 所以 DEFB，即，所以|2 222 DE FB DB DE EF FB ， 144 25 49 25 144 25 337 25 所以|，故线段 BD 的长是. DB 337 5 337 5 反思与感悟 (1)若题目适合建立空间直角坐标系，常建系运用空间两点距离公式求解 (2)若不具备建系条件时，常用基向量表示并结合|a|2a2求解 跟踪训练 1 (1)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在上且，N 为 AC1 AM 1 2MC1 B1B 的中点，则|等于( ) MN A.B.C.D. 15 6
6、 6 6 15 3 21 6 (2)已知线段 AB，BD 在平面 内，ABD120，线段 AC，如果 ABa，BDb，ACc，则线段 CD 的长为( ) A. a2b2c2ab B. a2b2c2ab C. a2b2c2ac D. a2b2c2 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案 (1)D (2)A 解析 (1)设a，b，c， a b c，| AB AD AA1 MN MA AB BN 2 3 1 3 1 6 MN MN MN . 4 9a2 1 9b2 1 36c2 21 6 (2)设a，b，c， AB BD AC 因为cab， CD CA AB BD 所以| CD C
7、D CD cabcab a2b2c22ab a2b2c22|a|b|cos60 . a2b2c2ab 类型二 求点到直线的距离 例 2 在棱长为 2 的正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E，F 分别是棱 C1C 和 D1A1的中点，求 点 A 到直线 EF 的距离 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到直线的距离 解 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 Dxyz，则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2) 所以直线 EF 的方向向量EF (1，2,1)；取直线 EF 上一点 F(1,0,2)，则点
8、A(2,0,0)到直线 EF 上一点 F(1,0,2)的向量 (1,0,2) AF 因为在上的投影为， AF EF AF EF |EF | 1 6 所以点 A 到直线 EF 的距离 d. |AF |2|AF EF |EF | 2 174 6 引申探究 本例条件不变，求点 B 到直线 EF 的距离 解 B(2,2,0)，(1，2,2)， BF 因为在上的投影为. BF EF BF EF |EF | 5 6 6 所以 B 到直线 EF 的距离 d. |BF |2| BF EF |EF | 2 174 6 反思与感悟 利用公式 d求点到直线的距离的步骤：直线的方向向量 |PA |2|PA s0|2
9、所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影代入公式 跟踪训练 2 (1)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1内一点，且满足 AP 3 4AB 1 2 ，则点 P 到棱 AB 的距离为( ) AD 2 3AA1 A. B. C.D. 5 6 3 4 13 4 145 12 (2)如图，在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是线段 DC1上的动点，则点 M 到直线 AD1的距离的最小值为_ 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到直线的距离 答案 (1)A (2) 3a 3 解析 (1)因为在上的投影为 ，所以点 P 到 AB
10、 的距离 d AP AB AP AB |AB | 3 4 . |AP |2| AP AB |AB | 2 5 6 (2)D(0,0,0)，C1(0，a，a)，A(a,0,0)，D1(0,0，a)，设(0，a，a)(01)， DM DC1 (a,0，a)，(a，a，a)，在上的投影为a(1) AD1 AM AM AD1 AM AD1 |AD1 | 2 2 故点 M 到的距离 daa. AD1 |AM |2| AM AD1 |AD1 | 2 3 22 1 2 3 3 类型三 求点到平面的距离 例 3 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，E，F 分别是 AB，AD 的中点，CG 垂直于 正
11、方形 ABCD 所在的平面，且 CG2，求点 B 到平面 EFG 的距离 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 解 以 C 为坐标原点，CB，CG 所在直线分别为 x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系 Cxyz. 由题意可知 G(0,0,2)，E(4，2,0)，F(2，4,0)，B(4,0,0)， (4，2，2)，(2，4，2)，(0，2,0) GE GF BE 设平面 EFG 的一个法向量为 n(x，y，z) 由Error!Error!得Error!Error!Error!Error! 令 y1，则 n(1,1，3)， 故点 B 到平面 EFG 的距离为 d. |B
12、E n| |n| 2 11 2 11 11 反思与感悟 利用向量求点到平面的距离的一般步骤 (1)求出该平面的一个法向量； (2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平 面的距离 跟踪训练 3 已知点 A(1,1，1)，平面 经过原点 O，且垂直于向量 n(1，1,1)，求 点 A 到平面 的距离 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 解 (1,1，1)，n(1，1,1)， OA 点 A 到平面 的距离为 d. |OA n| |n| |111| 33 1两平行平面 ， 分别经过坐标原点
13、O 和点 A(2,1,1)，且两平面的一个法向量为 n(1,0,1)，则两平面间的距离是( ) A.B. 3 2 2 2 C.D3 32 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两平面间距离 答案 B 解析 两平面的一个单位法向量为 n，故两平面间的距离为 d|n|. ( 2 2 ，0， 2 2) OA 2 2 2在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 AA1的中点，则点 A1到平面 MBD 的 距离是( ) A.aB.a 6 6 3 6 C.aD.a 3 4 6 3 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 A 解析 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA
14、，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系，则 D(0,0,0)，A1(a,0，a)， A(a,0,0)，M，B(a，a,0)， (a，0， 1 2a) ， BM (0，a， 1 2a) . DM (a，0， 1 2a) 设 n(x，y，z)为平面 MBD 的一个法向量， 则Error!Error!Error!Error!Error!Error! 令 y1，得 n(1,1,2) 又(a,0，a)， DA1 故点 A1到平面 MBD 的距离为 da. |DA1 n| |n| 6 6 3设 A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点 D 到平面 ABC 的距离为 _ 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 49 17 17 解析 设平面 ABC 的一个法向量为 n(x，y，z) Error!Error! Error!Error! 即Error!Error!Error!Error! 令 z2，则 n(3,2，2) 又(7，7,7)， AD 点 D
