《2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版:第3章 空间向量与立体几何 滚动训练(四) 》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版:第3章 空间向量与立体几何 滚动训练(四) (8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、滚动训练滚动训练(四四) 一、填空题 1 “相似三角形的对应角相等”的否命题是_ 答案 不相似的三角形的对应角不相等 解析 否命题是条件、结论都否定 2已知 a(t1,1,t),b(t1,t,1),则|ab|的最小值为_ 答案 2 解析 |ab|222(1t)2(t1)22(t1)24, 所以当 t1 时,|ab|取得最小值 2. 3双曲线 x21 的离心率大于的充要条件是_ y2 m2 答案 m1 解析 依题意知,e ,e22,得 1m2, c a c2 a2 所以 m1. 4已知 A(1,5,2),B(2,4,1),C(x,3,y2),且 A,B,C 三点共线,则实数 x,y 的值分 别为
2、_ 答案 3,2 解析 若 A,B,C 三点共线,则,也共线 AB BC 又(1,1,3),(x2,1,y1), AB BC 1,x3,y2. 1 x2 3 y1 5已知向量 p 在基底a,b,c下的坐标为(3,2,1),则 p 在基底下的坐 2a,b, 1 2c 标是_ 答案 ( 3 2,2,2) 解析 由已知得 p3a2bc, 则 p (2a)(2)(b)(2). 3 2 ( 1 2c) 故 p 在基底下的坐标为. 2a,b, 1 2c ( 3 2,2,2) 6已知直线 l1,l2的方向向量分别为 a,b,且 a(1,2,2),b(2,3,m),若 l1l2, 则实数 m 的值为_ 答案
3、2 解析 l1l2,ab. ab1(2)23(2)m42m0, m2. 7已知 a3m2n4p0,b(x1)m8n2yp,且 m,n,p 不共面,若 ab,则 x,y 的值分别为_ 答案 13,8 解析 ab 且 a0, ba,即(x1)m8n2yp3m2n4p. 又m,n,p 不共面, x1 3 8 2 2y 4 x13,y8. 8.如图,在三棱锥 ABCD 中,ABACAD2,BAD90,BAC60, 则_. AB CD 答案 2 解析 AB CD () AB AD AC AB AD AB AC |cos90|cos60 AB AD AB AC 22cos9022cos602. 9在底面为
4、直角梯形的四棱锥 SABCD 中,ABC90,SA平面 ABCD,SAABBC1,AD ,则平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为 1 2 _ 答案 6 3 解析 以点 A 为坐标原点,AD,AB,AS 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),D,C(1,1,0),S(0,0,1), ( 1 2,0,0) 平面 SAB 的一个法向量, AD ( 1 2,0,0) 并求得平面 SCD 的一个法向量 n, (1, 1 2, 1 2) 则 cos,n. AD AD n |AD |n| 6 3 10.如图,ABACBD1,AB平面 ,
5、AC平面 ,BDAB,BD 与平面 成 30角, 则 C,D 间的距离为_ 答案 2 解析 |2|2|2|2|222211100 CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD CA BD 211cos1202.|. CD 2 11平面 的法向量为 m(1,0,1),平面 的法向量为 n(0,1,1),则平面 与平 面 所成二面角的大小为_ 答案 60或 120 解析 cosm,n , mn |m|n| 1 2 2 1 2 m,n120,即平面 与 所成二面角的大小为 60或 120. 二、解答题 12.如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PC平面 ABCD,PC2,在四边形
6、 ABCD 中, BC90,AB4,CD1,点 M 在 PB 上,PB4PM,PB 与平面 ABCD 成 30的 角求证: (1)CM平面 PAD; (2)平面 PAB平面 PAD. 证明 以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz, PC平面 ABCD, PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, PBC30. PC2,BC2,PB4. 3 D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M, 33 ( 3 2 ,0,3 2) (0,1,2),(2,3,0), DP DA
7、 3 CM ( 3 2 ,0,3 2) (1)方法一 令 n(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量, 则Error!即Error!Error! 令 y2,得 n(,2,1) 3 n201 0, CM 3 3 2 3 2 n,又 CM平面 PAD,CM平面 PAD. CM 方法二 (0,1,2),(2,4,2), PD PA 3 令xy,则Error! CM PD PA 方程组有解为Error! ,由共面向量定理知与,共面, CM PD 1 4PA CM PD PA 又CM平面 PAD,CM平面 PAD. (2)取 AP 的中点 E,连结 BE,则 E(,2,1), 3 (,2,1), BE
8、 3 PBAB,BEPA. 又(,2,1)(2,3,0)0, BE DA 33 ,BEDA,又 PADAA, BE DA PA,DA平面 PAD, BE平面 PAD,又BE平面 PAB, 平面 PAB平面 PAD. 13已知 A,B 是抛物线 y2 x 上不同于原点 O 的两点,OAOB. 5 2 (1)求证:直线 AB 恒过定点 T,且以 OT 为直径的圆过点 D(2,1); (2)若直线 AB 与O:x2y25 相切,求切点坐标及直线 AB 的方程 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线的综合问题 (1)证明 设直线 AB 的方程为 xmyt,t0,代入 y2 x,得 5 2 2
9、y25my5t0.25m240t0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 y1y2 ,x1x2(y1y2)2t2. 5t 2 2y2 1 5 2y2 2 5 4 25 又,所以 x1x2y1y20, OA OB 即 t2 0,解得 t 或 t0(舍) 5t 2 5 2 所以直线 AB 的方程为 xmy ,恒过点 T. 5 2 ( 5 2,0) 所以(2,1)2110, OD TD ( 1 2,1) ( 1 2) 所以,即 ODTD, OD TD 所以点 D 在以 OT 为直径的圆上 (2)解 由(1)知直线 AB 的方程为 2x2my50, 由题意得, |5| 44m25 解得 m .
10、 1 2 当 m 时,切线 AB 的方程为 2xy50, 1 2 此时,切点坐标为(2,1) 当 m 时,切线 AB 的方程为 2xy50, 1 2 此时,切点坐标为(2,1) 三、探究与拓展 14已知 RtABC 的两条直角边 BC3,AC4,PC平面 ABC,PC ,则点 P 到斜边 9 5 AB 的距离是_ 答案 3 解析 以 C 为坐标原点,CA,CB,CP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间 直角坐标系 则 A(4,0,0),B(0,3,0), P, (0,0, 9 5) 所以(4,3,0), AB AP (4,0, 9 5) 所以 AP 在斜边 AB 上的投影长
11、为, |AP AB | |AB | 16 5 所以点 P 到斜边 AB 的距离为 d3. |AP |2(16 5)2 1681 25 256 25 15.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA平面 ABCD,ADBCFE,ABAD,M 为 EC 的 中点,AFABBCFE AD. 1 2 (1)求异面直线 BF 与 DE 所成角的大小; (2)证明:平面 AMD平面 CDE; (3)求二面角 ACDE 的余弦值 (1)解 如图所示,以点 A 为坐标原点,AB,AD,AF 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系, 设 AB1,依题意得 B(1,0,0),C(1,1,0),D
12、(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M. ( 1 2,1, 1 2) (1,0,1),(0,1,1), BF DE 于是 cos, . BF DE |BF DE | |BF |DE | 001 2 2 1 2 所以异面直线 BF 与 DE 所成角的大小为 60. (2)证明 由,(1,0,1), AM ( 1 2,1, 1 2) CE (0,2,0),可得0,0. AD CE AM CE AD 因此,CEAM,CEAD. 又 AMADA,AM平面 AMD,AD平面 AMD, 故 CE平面 AMD. 又 CE平面 CDE,所以平面 AMD平面 CDE. (3)解 设平面 CDE 的法向量为 u(x,y,z), 则Error! 即Error!令 x1,可得 u(1,1,1) 又由题设知,平面 ACD 的一个法向量为 v(0,0,1) 所以,cosu,v. uv |u|v| 001 3 1 3 3 因为二面角 ACDE 为锐角,所以其余弦值为. 3 3