《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.2.3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.2.3 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 课时 角度问题 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 从地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其视角为 ,同时测得建筑物顶部仰角为 ,则山顶的 仰角为( ). A.+B.-C.-D. 答案:C 2 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3,则等于( ). A. 12. 6. 4. 3 解析:2asinB= 3, 由正弦定理得 2sinAsinBB. =3 sinB0,sinA = 3 2 . ABC 是锐角三角形,A = 3. 答案:D 3 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40,灯
2、塔 B 在 观察站 C 的南偏东 60,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ). A.北偏东 10 B.北偏西 10 C.南偏东 10 D.南偏西 10 解析:如图,由题意,知 AC=BC,ACB=80, CBA=50,+CBA=60. =10,即 A 在 B 的北偏西 10. 答案:B 4 如图,海平面上的甲船位于中心 O 的南偏西 30,与 O 相距 10 海里的 C 处,现甲船以 30 海里/时 的速度沿直线 CB 去营救位于中心 O 正东方向 20 海里的 B 处的乙船,甲船需要 小时到达 B 处. 解析:在BOC 中,OC=10,OB=20,BOC=120, BC =102+ 202- 2
3、 10 20120= 10 7. 甲船用时 t). = 10 7 30 = 7 3 (小时 答案: 7 3 5 如图所示,在斜度一定的山坡上的一点 A 处测得山顶上一座建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15,向山顶前进 100 m 后,又从点 B 测得其斜度为 45,假设建筑物高 50 m,设山坡对于地平面的斜度 为 ,则 cos = . 解析:在ABC 中,AB=100,CAB=15,ACB=45-15=30. 由正弦定理,得 100 30 = 15, 故 BC=200sin15. 在DBC 中,CD=50,CBD=45,CDB=90+. 由正弦定理,得 50 45 = 20015 (90
4、+ ), 故 cos= 3 1. 答案: 3 1 6 一船向正北方向匀速行驶,看见正西方两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续 航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60方向上,另一座灯塔在南偏西 75方向上,则该船的速 度是 海里/时. 答案:10 7 如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/ 时的速度从岛屿 A 沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处沿北偏东 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小 时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin 的值. 解(1)在ABC 中,BAC=180-60=120,
5、AB=12,AC=102=20,BCA=. 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC =122+202-21220cos120=784. 解得 BC=28. 所以渔船甲的速度/时). 为 2 = 14(海里 (2)在ABC 中, 因为 AB=12,BAC=120,BC=28,BCA=, 由正弦定理,得 = 120. 即 sin = 120 = 12 3 2 28 = 3 3 14 . 8 某海轮以 30 海里/时的速度航行,在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60,向北航行 40 分钟后到 达 B 点,测得油井 P 在南偏东 30,海轮改为北偏东 60的航向再行驶 8
6、0 分钟到达 C 点,求 P,C 间的距 离. 解如图,在ABP 中,AB=30 40 60 = 20, APB=30,BAP=120, 由 = , 得20 1 2 = 3 2 , BP=20 3. 在BPC 中,BC=30 80 60 = 40, 由已知,PBC=90, PC). = 2+ 2=(20 3)2+ 402= 20 7(海里 答:P,C 间的距离为 2. 0 7海里 能力提升能力提升 1 在ABC 中,已知 b2=ac,且 a2-c2=ac-bc,则 的值为( ). A. 1 2. 3 2 C.1D.2 解析:b2=ac,且 a2-c2=ac-bc, b2+c2-a2=bc. c
7、osA = 1 2. = 3. b2=ac, = . sinBsinB=sinA = = = 3 2 . 答案:B 2 有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为 6 m,下底长为 10 m,高为 2 3 ,则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为( ). A. 3 3 ,60. 3,60 C. 3,30. 3 3 ,30 解析:如图所示,横断面是等腰梯形 ABCD,AB=10m,CD=6m,高 DE=m, 2 3 则 AEm, = - 2 = 2 tanDAE = = 2 3 2 =3, DAE=60. 答案:B 3 有一两岸平行的河流,水速为 1 m/s,小船的速度 为 2 /,为了使小船渡河所走
8、路程最短,则小船行驶的方向应( ). A.与水速成 45 B.与水速成 135 C.垂直于对岸 D.不能确定 解析:如图所示,AB 是水速,AD 为船速,AC 是船的实际速度,且 ACAB. 在 RtABC 中, cosABC = = = 1 2 = 2 2 , ABC=45, DAB=90+45=135. 答案:B 4 平面内三个力 F1,F2,F3作用于同一个点,且处于平衡状态,已知 F1,F2的大小分别为 1 NF1与 F2的夹角为 45,则 F3与 F1的夹角是 . , 6 + 2 2 , 解析:如图,设三力作用于点 O,F1与 F2的合力为 F,由共点力平衡,得 |F|=|F3|,F
9、1F2FF3. 令 =, = , =, = AOB=45, CAO=135. 在OCA 中,由余弦定理,得 OC2=OA2+AC2-2OAACcos135=4+2 3, OC|F3| =3 + 1,即=3 + 1. 又由正弦定理,得 sinAOC = = 1 2, AOC=30. AOD=150. F3与 F1的夹角为 150. 答案:150 5 一人看到建筑物 A 在正北方向,另一建筑物 B 在北偏西 30方向,此人向北偏西 70方向行走 3 km 后,则见 A 在其北偏东 56方向,B 在其北偏东 74方向,则 AB .(精确到 0.1 km) 解析:设此人的初始位置是点 O,如图所示.
10、在BCO 中,BOC=70-30=40,BCO=(180-70)-74=36, CBO=180-40-36=104. 由正弦定理,得 104 = 36, BO = 336 104. 在AOC 中,AOC=70,CAO=56, ACO=54. 由正弦定理,得 56 = 54, AO = 354 56 . 在AOB 中,由余弦定理,知 AB1.6(km). =2+ 2- 230 答案:1.6 km 6 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船 立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30,相距 10 海里的 C 处的乙船,试问乙船应朝北
11、偏 东约多少度的方向沿直线前往 B 处救援?(角度精确到 1) 解由已知,得CAB=90+30=120, 则ACB90. 在ABC 中,由余弦定理,得 BC2=202+102-22010cos120=700, BC=1. 0 7海里 在ABC 中,根据正弦定理, 有 20 = 120 10 7 , sinACB = 3 7. 又ACB90, ACB41. 故乙船应朝北偏东大约 41+30=71方向沿直线前往 B 处救援. 7 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 +3)海里的两个观测点,现位于点北偏东45,点北偏西60的点有一艘轮船发出求救信号,位于 点南偏西60相距20 3海里的点
12、的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时, 问该救援船到达点需要多长时间? 解由题意得,DBA=90-60=30,DAB=90-45=45, 故ADB=180-(45+30)=105. 在DAB 中,由正弦定理,得 = , 故 DB = = 5(3 + 3)45 105 = 5(3 + 3)45 4560 + 4560 ). = 5 3( 3 + 1) 3 + 1 2 = 10 3(海里 又DBC=DBA+ABC=60,BC=2, 0 3海里 故在DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC =300+1200-210 3 20 3 1 2 =900. 解得 CD=30(海里). 则该救援船到达 D 点需要的时间 t). = 30 30 = 1(小时
