《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 检测（B） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 检测（B） （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章检测(B) (时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.抛物线 x2=4y 的焦点坐标为( ) A.(0,-1)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,0) 答案:B 2.“m0”是“方程 2 3 + 2 = 1表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:B 3.定义:离心率之差的绝对值小 于1 2的两条双曲线称为“相近双曲线”,已知双曲线: 2 4 2 12 = 1,则下列双曲线中与是“相近双曲线”的为( )
2、A.x2-y2=1B.x2 2 2 = 1 C.y2-2x2=1D. 2 9 2 72 = 1 解析:易知双曲线 C 的离心率为 2.对于 A,双曲线的离心率;对于 B,双曲线的离心率 为 2,不符合题意 ;对于 C,双曲线的离心率;对于 D,双曲线的离心率为 3,不符合题意.故 为 3,符合题意 为 6 2 ,不符合题意 选 B. 答案:B 4.已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点,若 AB 中点的横坐标为 3,则线段 AB 的长为( ) A.5B.6C.7D.8 解析:设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l0,C 是 AB 的中点,分别过点 A
3、,B 作直线 l0的垂线,垂足分别 为 M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8. 答案:D 5.过双曲线 x2 2 3 = 1的右焦点且与轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于,两点,则| = ( ) A. 4 3 3 .2 3.6.4 3 解析:双曲线 x2y=F(2,0),如图. 2 3 = 1的两条渐近线方程为 3,右焦点为 根据题意,由 = 3, = 2, ? 得点 A(2,2 3). 同理可得点 B(2,-2 3). 所以|AB|=D. 4 3,故选 答案:D 6.已知双曲 线 2 2 2 2 =
4、1( 0, 0)的虚轴的上顶点是,右焦点是,为坐标原点,点满足 = 1 2,若直线 的倾斜角是 60,则该双曲线的离心率是( ) A. 2.2. 4 3. 2 3 3 解析:由题意可知点 A(0,b),点 F(c,0), 因为 = 1 2,所以点( 3, 2 3). 又因为直线 OP 的倾斜角是 60, 所以 kOP = 2 =3,42 = 32, 则 a2=c2-b2=c2 3 42 = 2 4, 即 ae = 2,故离心率 = = 2. 答案:B 7.已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在抛物线 x2=y 的图象上,则使得ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( ) A.4B.
5、3C.2D.1 解析:由已知可得|AB|=SABC=2,则点 C 到直线 AB 的距离必须C(x,x2),而 lAB:x+y- 2 2,要使 为 2,设点 2=0,所以x2+x-2=2, 有| + 2 - 2| 2 =2,所以 当 x2+x-2=2 时,有两个不同的点 C; 当 x2+x-2=-2 时,亦有两个不同的点 C. 因此满足条件的点 C 有 4 个,故应选 A. 答案:A 8.设 F1,F2是双曲F1PF2的面积为 2 时 线 2 3 2 = 1的两个焦点,点在双曲线上,当 ,12的值为( ) A.2B.3C.4D.6 解析:设点 P(x0,y0),又点 F1(-2,0),点 F2(
6、2,0), 1= ( 2 0, 0),2= (2 0, 0). |F1F2|=4|y0|=2, , 12 = 1 2|12| |y0|=1.又 2 0 3 2 0= 1, 2 0= 3( 2 0+ 1) = 6, 12= 2 0+ 2 0 4 = 6 + 1 4 = 3. 答案:B 9.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过点 M,N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则点 P 的轨迹方程为( ) A.x2 2 8 = 1( 1) B.x2 2 8 = 1( 0) D.x2 2 10 = 1( 1) 解析:设圆与直线 PM,PN 分别相切于
7、点 E,点 F, 则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|. |PM|-|PN|=(|PE|+|ME|)-(|PF|+|NF|) =|MB|-|NB|=4-2=2, 点 P 的轨迹是以点 M(-3,0),点 N(3,0)为焦点的双曲线右支(去掉点 B),且 a=1, c=3,b2=8, 故双曲线方程是 x2 2 8 = 1( 1). 答案:A 10.已知椭圆 E : 2 2 + 2 2 = 1( 0)的右焦点为,短轴的一个端点为,直线:3 4 = 0交椭圆于,两点.若| + | = 4,点到直线的距离不小于4 5,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.( 0, 3 2.(
8、0, 3 4 C. 3 2 ,1 ). 3 4 ,1 ) 解析: 如图,取椭圆的左焦点 F1,连接 AF1,BF1. 由椭圆的对称性知四边形 AF1BF 是平行四边形, |AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4. a=2. 不妨设点 M(0,b), 则|3 0 - 4| 32+ 42 4 5, b1. e = = 1 - ( ) 2 1 - ( 1 2) 2 = 3 2 . 又 0 0, 0)的渐近线与圆( 2)2 + 2 = 1相切,则双曲线的离心率为 . 解析:因为双曲线的渐近线方程为 y=kk0.因为双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=1 ,不妨设 = ,则 相切,所ke 以
9、 |2| 2+ 1 = 1,解得 = 3 3 ,即 = 3 3 ,所以 = = 2+ 2 2 =1 + 2 2 = 2 3 3 . 答案: 2 3 3 13.已知椭 圆 2 2 + 2 2 = 1( 0)的离心率为 3 3 ,若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 = + 2相切 ,则椭圆的标准方程为 . 解析:由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y=x+2 相切,得 b = 2 2 =2. 又因为离心率为 3 3 , 所以 a2=3c2=3(a2-2),得 a= 3, 故椭圆的标准方程为 2 3 + 2 2 = 1. 答案: 2 3 + 2 2 = 1 14.若双曲 线 2
10、2 2 2 = 1( 0, 0)的一条渐近线的倾斜角为2 3 ,离心率为,则 2+ 2 2 的最小值为 . 解析:由题a=2 时取等 意, =3, =3, = 2, = 2, 2+ 2 2 = 2+ 4 2 3 = 2 3 + 2 3 2 3 3 (当且仅当 号),则 2+ 2 2 的最小值为2 3 3 . 答案: 2 3 3 15. 抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图, 已知抛物线 y2=2px(p0),一光源在点 M 处,由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物 线上的点 P,反射后射向抛物线上的点 Q,再反射后又沿平行于抛物线
11、的对称轴的方向射出,设 P,Q 两 点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1y2= . 解析:由抛物线的光学性质知光线 PQ 必经过抛物线的焦PQ 的倾斜角不为 90时,设 点 ( 2 ,0 ),当直线 PQ 的方程为 y=0),即 xy2=2px 中,整理得 y2 ( - 2)( = 1 + 2,将其代入抛物线方程 y1y2=-p2.当直线 PQ 的倾斜角为 90时,PQ 的方程为 x,得 y=p, 2 2 = 0,则 = 2,代入抛物线方程 同样可以得到 y1y2=-p2. 答案:-p2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
12、 16.(8 分)已知抛物线方程为 y2=2x,在 y 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线交于 M,N 两点,O 为坐标原点.若 OMON,求直线 l 的方程. 解:设直线 l 的方程为 y=kx+2, x 得 ky2-2y+4=0. 由 2= 2, = + 2 ? 消去 直线 l 与抛物线相交, kk0. 0, = 4 - 16 0, ? 解得 0)的左、右焦点,是上一点,且2与轴垂直,直线1与的另一个交点为. (1)若直线 MN 的斜率为 3 4,求的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 解:(1)根据 c =2 - 2及题设知点
13、( , 2 ),22 = 3. 将 b2=a2-c2代入 2b2=3ac, ). 解得 = 1 2, = 2(舍去 故 C 的离心率为 1 2. (2)由题意,原点 O 为 F1F2的中点,MF2y 轴, 所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1的中点,b2=4a. 故 2 = 4,即 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设点 N(x1,y1),由题意知 y10)相交于点 B,C,当直线 l 的斜率 是1 2时, = 1 4. (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的垂直平分线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 解:(1)设点 B(
14、x1,y1),点 C(x2,y2),由已知当 kl,l 的方程为 yx=2y-4. = 1 2时 = 1 2( + 4),即 2y2-(8+p)y+8=0, 由 2= 2, = 2 - 4, ? 得 则 12 = 4, 1+ 2= 8 + 2 , ? 又因y2y1=4y2. 为 = 1 4,所以 = 1 4 1或 由 p0 得 y1=4,y2=1,p=2, 即抛物线方程为 x2=4y. (2)设 l:y=k(x+4),BC 中点坐标为(x0,y0), x2-4kx-16k=0. 由 2= 4, = ( + 4), ? 得 所以 x0 = 1+ 2 2 = 2,0 = (0 + 4) = 22 + 4. 所以 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 1 ( 2),所以 b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程,
