多元时间序列简介

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1、1,多元时间序列简介,第十章,应用多元统计分析,2,第十章 多元时间序列简介,所谓时间序列，就是各种社会、经济、自然现象的数量指标，按照时间次序排列的起来的统计数据。这些数据中往往蕴含着事物或现象在特定时刻或环境下的大量信息。 时间序列分析就是充分利用这些数据，挖掘事物随时间变化规律的方法。 就经济领域而言，时间序列分析多用于经济、金融等方面的预测。,3,第十章 多元时间序列简介,本章主要讨论: 时间序列基本理论 单位根与协整 向量自回归模型 时间序列应用实例,4,4,第一节 时间序列基本理论,在统计研究中，常用时间顺序排列的一组随机变量 来表示一个随机事件的时间序列，记为 或 。用表示随机序

2、列的 个有序观测值，记为 或 。我们分析的目的是由观测序列的性质推断随机时序的性质。,5,时间序列不同于截面数据存在可重复抽样的情形，它是一个随机事件的唯一记录。 也就是说，由于时间序列观测值仅仅可视为是随机过程的一次实现(一次抽样结果)，一般情况下，从一次抽样结果中作出统计推断是困难的，这就必须要求时间序列满足一定的条件，即平稳性要求。,5,第一节 时间序列基本理论,6,本节基本内容 一、平稳性 二、平稳时间序列的意义 三、平稳性判定 四、白噪声序列 五、单变量平稳序列建模方法,第一节 时间序列基本理论,7,7,一、平稳性,平稳性是指时间序列的统计规律不会随着时间序列的推移而发生变化。 严平

3、稳 宽平稳,8,8,严平稳 记时间序列为 ，若对于一切 ，任意正 整数 ，以及任意 个时间 ，有 和 的联合分布是相同的，即 则称时间序列 是严平稳的。换句话说，严平稳要求它在时间平移变化下是不变的。所以严平稳时间序列通常只有理论意义。,一、平稳性,9,宽平稳 若时间序列 满足下列条件： (1) (2) (3) 其中， ，则称时间序列 是宽平稳的。宽平稳意味着时间序列的均值和方差在任何时间保持恒定，而且 与 的协方差不依赖于时刻 ，而仅仅依赖于两个观测的时间 间隔 。,一、平稳性,10,10,严平稳是对序列联合分布的要求，以保证序列所有的统计特征都相同； 宽平稳只要求序列二阶平稳，对于高二阶的

4、矩没有要求。 事实上，根据严平稳和宽平稳的定义知道，只要序列的一阶、二阶矩存在，严平稳序列必为宽平稳，反之，宽平稳不能反推严平稳成立。,一、平稳性,11,11,二、平稳时间序列的意义,极大地减少了随机变量的个数，增加了待估参数的样本容量； 极大地简化了时间序列分析的难度，同时也提高了对均值函数的估计精度。,12,三、平稳性判定,时序图判定 根据平稳时间序列均值方差为常数的性质，平稳时间序列的时序图应该显示出该序列始终围绕一个常数水平上下波动，且波动的幅度大致相同。其他情况，诸如时序图显示某个时间序列具有明显的趋势或不稳定的波动，通常判定为非平稳序列。,12,13,下图为通过一定的数据生成机制(

5、平稳或非平稳)随机产生的n=200的时间序列，根据上面的原则容易判定，左上角为平稳时间序列，其他情况为非平稳时间序列。,13,平稳与非平稳时序图,三、平稳性判定,14,平稳序列通常具有短期的相关性。随着时间间隔 的增加，平稳时间序列的自相关系数 会很快衰减到零(在自相关图中表现为落在虚线以内)。 反之，非平稳时间序列的自相关系数 衰减向零的速度通常比较慢。,14,三、平稳性判定,自相关图判定,15,15,平稳序列自相关系数(Eviews绘制),三、平稳性判定,16,16,非平稳序列的自相关图(Eviews绘制),三、平稳性判定,17,四、白噪声序列,如果序列值前后之间没有任何的相关性，那么意味

6、着该序列是一个没有记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫的影响，这种序列称为白噪声序列或纯随机序列。 下图显示了一个随机生成的白噪声序列时序图。,17,18,18,标准正态白噪声序列时序图,四、白噪声序列,19,如果时间序列 满足 (1)对于任意的 ，有 (2)对于任意的时间间隔 ，有 则称时间序列 为白噪声序列，或纯随机序列。,19,且,四、白噪声序列,20,至少存在某个 ，,则检验统计量为： (1) 统计量,纯随机性检验,四、白噪声序列,21,(2)Ljung-Box统计量 统计量在小样本的情况下不太精确，故提出Ljung-Box统计量弥补这一缺陷。 需要指出的是，各种场合普遍采用的

7、统计量往往是指Ljung-Box统计量。,四、白噪声序列,22,五、单变量平稳序列建模方法,如果时间序列是平稳的，我们有一套非常成熟的时间序列建模方法。其中，最具代表性的方法是博克斯(Box)-詹金斯(Jenkins)建模方法，常常称B-J方法。该方法可以分为三种基本的模型：自回归模型，简称 模型；移动平均模型，简称 模型；自回归移动平均模型，简称 模型。,22,23,自回归模型 若时间序列 可表示为它的前期值和随机误差项的线性函数，即 则称时间序列 为自回归序列，该模型为 p阶自回归模型，记为 。参数 为自回归参数。,23,五、单变量平稳序列建模方法,24,引入滞后算子 ， 令 则模型可以写

8、成 令 模型平稳的充要条件是 的根全部落 在复平面中的单位圆外。,24,五、单变量平稳序列建模方法,25,移动平均模型 若时间序列 可表示为它的当前与前期随机误差项的线性函数，即 则称时间序列为移动平均序列，此模型称为q阶移动平均模型，记为,25,五、单变量平稳序列建模方法,26,令 模型可写成 令 若 的根全部落在复平面的单位圆外，则称模型是可逆的。,五、单变量平稳序列建模方法,27,自回归移动平均模型 若时间序列 可表示为它的当前与前期的随机误差项，以及它的前期值的线性函数，即 则称时间序列 为自回归移动平均序列，模型为 阶自回归移动平均模型，记为 。,27,五、单变量平稳序列建模方法,2

9、8,当 时， ；当 时， 。引入滞后算子，模型可表示为 可以证明，此模型的平稳性取决于自回归参数 ，与移动平均参数无关。因此，此模型的平稳性可参照 的平稳性条件。,28,五、单变量平稳序列建模方法,29,模型识别 通常采用样本自相关系数和样本偏自相关系数这两个统计量去识别 、 ，以及 模型，即确定p与q。 (1) 模型的识别 若我们估计得到的样本自相关系数 在q步以后接近于0，则模型可以识别为 。,29,五、单变量平稳序列建模方法,30,(2) 模型的识别 对于一个 模型，间隔期为p的偏自相关系数不应该为0，而对于所有 ( )都应该接近于0。这说明 模型的偏自相关系数是p步截尾的。 (3) 模

10、型的识别 的自相关系数和偏自相关系数都不会在有限步截尾，可以将这种性质称为拖尾性。,五、单变量平稳序列建模方法,31,31,平稳时间序列的主要特征如上表所示，这是进行模型识别的重要依据。,五、单变量平稳序列建模方法,32,第二节 单位根与协整,本节基本内容 一、虚假回归 二、单位根检验 三、协整与误差修正,33,一、虚假回归,由于样本的随机性，纳伪错误始终会存在，我们使用显著性水平 来控制纳伪错误地概率为 。 通常我们用统计量进行参数显著性检验，仍采用多元回归分析的符号，有：,34,当响应序列和输入序列都平稳时，该统计量服从 的分布。 当 时，可以将纳伪错误发生的概率准确地控制在显著性水平 以

11、内，即 当响应序列和输入序列不平稳时，检验统计量不再服从 分布，如果仍然采用 分布的临界值进行检验，拒绝原假设的概率将会大大增加，容易接受原本不成立的回归模型显著成立的错误结论，出现虚假回归。,一、虚假回归,35,35,二、单位根检验,由于虚假回归问题的存在，所以在动态回归模型拟合时，必须先检验各序列的平稳性。只有当各序列都平稳时，才可使用动态回归模型，拟合多元时间序列之间的动态回归关系。除已介绍过的图判定方法，现介绍应用最广的经典的单位根检验。,36,DF检验 DF统计量 ：序列 非平稳 ： ：序列 非平稳 ： 检验统计量为： 当 时， 当 时，,极限,二、单位根检验,37,DF检验的等价表

12、达 DF检验可以通过对参数 检验等价进行： 相应的DF检验统计量为： 其中， 为参数 的样本标准差,，,二、单位根检验,38,DF检验 DF检验的三种类型： 第一种类型：无常数均值、无趋势的1阶自回归过程： 第二种类型：有常数均值、无趋势的1阶自回归过程： 第三种类型：既有常数均值，又有线性趋势的1阶自回归过程：,38,二、单位根检验,39,ADF检验 DF检验只适用于1阶自回归过程的平稳性检验，为了使DF检验能适用于 过程的平稳性检验，人们对DF检验进行了一定的修正，得到增广DF检验(Augmented Dickey-Fuller)，简记为ADF检验。,二、单位根检验,40,ADF检验原理

13、对于 模型我们可以通过检验自回归系数之和是否等于1来考察该序列的平稳性。 单位根检验的假设条件可以如下确定： (序列非平稳) (序列平稳) 构造ADF检验统计量：,二、单位根检验,41,ADF检验的三种类型 第一种类型：无常数均值、无趋势的p阶自回归过程： 第二种类型：有常数均值、无趋势的p阶自回归过程： 第三种类型：既有常数均值，又有线性趋势的p阶自回归过程：,41,二、单位根检验,42,检验序列平稳性的标准方法是单位根检验，DF检验、ADF检验是出现比较早的检验方法。其他常用的单位根检验方法还包括PP检验，KPSS检验，ERS检验和NP检验。,42,其他检验,二、单位根检验,43,三、协整

14、与误差修正,单整与协整 单整 （1）如果序列平稳，不存在单位根，这时称序列为零阶单整序列，简记为 ； （2）如果原序列1阶差分后平稳，说明原序列存在一个单位根，这时稳原序列为1阶单整序列，简记为 ； （3）如果原序列至少需要进行 阶差分才能实现平稳，说明原序列存在 个单位根，这时称原序列为 阶单整序列，简记为 。,43,44,单整衡量的是单个序列的平稳性，它具有如下重要性质： 若 ，对于任意非零实数 和 ，有： 若 ，对于任意非零实数 和 ，有： 若 ， 对于任意非零实数 和 ， 有： 若 对于任意非零实数 和 ，有：,44,三、协整与误差修正,45,协整 假定自变量序列为 ，响应变量序列为

15、，构造回归模型 假定回归残差序列 平稳，我们称响应序列 与自变量序列 之间具有协整关系。,三、协整与误差修正,46,协整检验 假设条件 ：多元非平稳序列之间不存在协整关系 ：多元非平稳序列之间存在协整关系 上述假设条件等价于： ：回归残差序列非平稳 ：回归残差序列平稳,三、协整与误差修正,47,检验步骤 步骤一：建立响应序列与输入序列之间的回归模型 步骤二：对回归残差序列进行平稳性检验。,三、协整与误差修正,48,误差修正 误差修正模型，简称ECM，最初由韩德瑞(Hendry)和安德森(Anderson)于1977年提出，它常常作为协整回归模型的补充模型出现。由协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而误差修正模型则解释序列的短期波动。,48,三、协整与误差修正,49,由 知， 响应序列的当期波动 主要会受到三方面短期波动的影响： (1)输入序列的当期波动； (2)上一期的误差； (3)纯随机波动。,三、协整与误差修正,50,50,我们可以构建误差修正模型，模型结构如下： 其中， 称为误差修正系数，表示误差修正项 对当期波动的修正力度。根据误差修正原理，可以确定上式