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1、小题标准练小题标准练( (五五) ) (40(40 分钟分钟 8080 分分) ) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设集合 A=1,2,3,B=4,5,C=x|x=b-a,aA,bB,则 C 中元素的个数是 ( ) A.3B.4C.5D.6 【解析】选 B.由已知得 C=1,2,3,4,其中元素个数为 4 个. 2.复数 z=,则( ) A.z 的共轭复数为 1+iB.z 的实部为 1 C.|z|=2D.z 的虚部为-1 【解析】选 D.z=-1-i. 3.函数 f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间
2、为( ) 1 2 A.(0,+)B.(-,0) C.(2,+)D.(-,-2) 【解析】选 D.函数 y=f(x)的定义域为(-,-2)(2,+),因为函数 y=f(x)是由 y=lot 1 2 与 t=g(x)=x2-4 复合而成,又 y=lot 在(0,+)上单调递减,g(x)在 1 2 (-,-2)上单调递减,所以函数 y=f(x)在(-,-2)上单调递增. 4.若 sin=(sin +2cos ),则 sin 2=( ) 2 A.-B.C.-D. 4 5 4 5 3 5 3 5 【解析】选 C.由题意知(sin +cos )=(sin +2cos ),所以 sin =-3cos 2 ,
3、即 tan =-3, 所以 sin 2=-. 2 1 + 2 3 5 5.某算法的程序框图如图所示,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 的个数共有_个. ( ) A.1 B.2 C.3D.4 【解析】选 C.框图运算的是分段函数 y=的值,x=-2,2,8,共 3 解. 2- 1, 2 2, 2 ? 6.将自然数 0,1,2,按照如图形式进行摆列: 根据以上规律判定,从 2 016 到 2 018 的箭头方向是( ) 【解析】选 A.从所给的图形中观察得到规律:每隔四个单位,箭头的走向是一样的,比如说, 01,箭头垂直指下,45,箭头也是垂直指下,89 也是如此,而 2 016=4504,所
4、以 2 0162 017 也是箭头垂直指下,之后 2 0172 018的箭头是水平向 右. 7.已知函数 y=loga(x-1)+3(a0,a1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的 第二项与第三项,若 bn=,数列bn的前 n 项和为 Tn,则 T10=( ) A.B.C.1D. 10 11 12 11 【解析】选 B.函数 y=loga(x-1)+3 的图象过定点(2,3),所以 a2=2,a3=3,所以 d=a3-a2=1,所 以 an=n.所以 bn=-.所以 T10=(1-)+(-)+(-)+(- 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 )=1-=. 10 11 8.已
5、知点 P 在单位圆 x2+y2=1 上运动,点 P 到直线 3x-4y-10=0 与 x=3 的距离分别记为 d1、d2,则 d1+d2最小值为 ( ) A.5- B.5- 4 5 5 C.5+ D.5- 2 5 5 【解析】选 A.设 P, (,) 则 d1=2+sin -cos ,而 d2=3-cos ,所以 |3 - 4 - 10| 5 4 5 3 5 d1+d2= 5+sin -cos =5+sin,所以 d1+d2最小值为 5-. 4 5 8 5 4 5 5( - ) 4 5 5 9.ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且=,则角 B= - 2 - + ( )
6、A.B.C. D. 6 4 3 【解析】选 B.=c2-b2=ac- - 2 - + - 2 - 2 a2,b2=a2+c2-ac=a2+c2-2accos Bcos B=B=. 2 4 10.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:“mn=nm”类比得到 “a ab b=b ba a”; “(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a a+b b)c c=a ac c+b bc c”; “(mn)t=m(nt)”类比得到“(a ab b)c c=a a(b bc c)”; “t0,mt=ntm=n” 类比得到“p p0 0,a ap p=b bp pa a=b b”; “|mn|=|m
7、|n|”类比得到“|a ab b|=|a a|b b|”; “=”类比得到以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 【解析】选 B.正确,错误. 11.设函数 f(x)=ln x-mx2-nx,若 x=1 是 f(x)的极大值点,则 m 的取值范围为( ) 1 2 A.(-1,+)B.(-1,0) C.(0,+)D.(-,-1)(0,+) 【解析】选 A.f(x)=-mx-n(x0)由已知可得:f(1)=0,所以 m+n=1. 所以 f(x)=-mx-1+m= 1 , ( - - 1)( - 1) 当 m0 时,-mx-11 时,f(x)0,f(x)在 x=1
8、时取得极大值. 当 m1, 1 即-1-1. 12.如图,平面 PAB平面 ,AB,且PAB 为正三角形,点 D 是平面 内的动点,四边形 ABCD 是菱形,点 O 为 AB 的中点,AC 与 OD 交于点 Q,l,且lAB,则 PQ 与l所成角的正切 值的最小值为( ) A. B. - 3 + 3 7 2 C.D.3 7 【解析】选 B.如图,过点 D,Q 分别作 DEAB 于点 E,QHAB 于点 H, 设ABC 为 ,则|QH|=|DE|=|AD|sin ,|OH|=|OE|= 1 3 1 3 ,设|AD|=|AB|=3,则|QH|=sin ,|OH|=cos +, 1 3(| + 1
9、2|) 1 2 |PO|=,所以|PH|=,要求的角即为 3 3 22+ 2 PQH,所以 tanPQH=,令 cos =t,则 tan PQH= | | 7 + + 2 1 - 2 = (当且仅当 8+t=时,等 - 1 + 1 16 - (8 + + 63 8 + ) 63 8 + 号成立). 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知函数 f(x)=-kx 在区间,e上有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围为 1 4 _. 【解析】由 f(x)=0 可得 kx=,所以 k=,设 g(x)=,x,e,所以 g(x) = 1 4
10、,由 1-2ln x=0 得 x=,所以当 x,时,g(x)0,g(x)是增函 1 - 2 3 1 2 1 4 1 2 数,当 x,e时,g(x)0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 2 2 2 2 交于 A,B 两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线 的方程为_. 【解析】因为双曲线的离心率为 2,所以=2,c=2a,b=a,不妨令 A(2a,3a), B(2a,-3a), 3 双曲线其中一条渐近线方程为 y=x,所以 d1= = 3 , 2 3 - 3 2 d2=;依题意得:+ 2 3 - 3 2 =6,
11、解得:a=,b=3,所以双曲线方程为:-=1. 3 2 3 2 9 答案:-=1 2 3 2 9 15.已知 x-,yR+,则(x-y)2+的最小值为 33 ( 3 - 2- 9 ) 2 _. 【解析】如图,点 P(x,)在半圆 x2+y2=3(y0)上,点 Q在曲线 y=(y0)上, 3 - 2 9 |PQ|=.当|PQ|最短时 P,Q(3,3), ( - )2+(3 - 2- 9 ) 2 ( 6 2 , 6 2 ) |PQ|=3-,所以(x-y)2+的最小值为 21-6. 3 ( 3 - 2- 9 ) 2 6 答案:21-6 16.对于函数 f(x),若存在区间 A=m,n,使得y|y=f
12、(x),xA=A,则称函数 f(x)为“同域 函数”,区间 A 为函数 f(x)的一个“同域区间”.给出下列四个函数: f(x)=cos x;f(x)=x2-1;f(x)=|x2-1|;f(x)=log2(x-1).存在“同域区间”的“同 2 域函数”的序号是_(请写出所有正确的序号) 【解析】f(x)=cosx,x0,1时,有 f(x)0,1,所以存在同域区间; 2 f(x)=x2-1,x-1,0时,有 f(x)-1,0,所以存在同域区间; f(x)=|x2-1|,x0,1时,有 f(x)0,1,所以存在同域区间; f(x)=log2(x-1)判断该函数是否有同域区间,即判断该函数和函数 y=x 是否有两个交点; 而根据这两个函数图象可以看出不存在交点,所以该函数不存在同域区间. 答案:
