数字信号处理杨毅明电子课件2014版第3章节频域的信号与系统

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1、第3章 频域的信号与系统,在认识问题和解决问题的时候，根据事物的形状、大小、颜色、结构、性能等特点进行分类，会给人们带来很大方便。然而分解也不失为认识和解决问题的有效方法。 所谓分解，就是把事物的各组成部分（成分）剖析出来。信号可以分解为正弦波成分，也可以分解为矩形波、震动波等成分。究竟以什么波作为成分，要看我们使用的情况而定。图3.1为三种信号波型，它们都可作为信号的基本成分。,图3.1,如果对它们的时间进行“压缩”，我们可以得到变化更快的正弦波、矩形波和震动波；也就是说，信号的基本成分可以演变为其它成分。例如：信号f(t)=sin(2t)，如果将f(t)的t代换为2t，可得新信号f(2t)

2、=sin(4t)，它比f(t)在同样的时间变化更快。 从分解的角度观察信号，就是将信号看作由一系列成分组成。分解也叫分析。在信号处理中，分析的做法是计算信号的各组成部分，即信号成分的含量。分析信号的成分就好像对物质进行化学分析。,图3.2,3.1 频域的信号 为了简化信号和更有效地利用信号，人们常把信号的组成部分看作是各种频率的正弦波，从中找出信号的特点，并加以利用。 3.1.1 正弦波的表达方法和特点 正弦波的表达方法有实数的和复数的：实数的方法是用三角函数，复数的方法是用指数。 实数正弦波可用幅度A、频率、初相位等三个参数表示，如 复数正弦波也可用幅度、频率、初相位等三个参数表示，如,实数

3、正弦波和复数正弦波的关系是 它称为欧拉公式，用这个基本公式可得到 正弦波的实数表示法和复数表示法各有所长： （1）实数正弦波的优点是表达式直观、好理解，缺点是它的乘法、除法运算比较复杂； （2）复数正弦波的优点是乘法、除法运算比较简单，缺点是表达式含两个正弦波，不好理解。 由于正弦波和余弦波只相差90，故有时统称它们为正弦波。,(3.5),(3.3),正弦波具有周期变化的特点，不管是实数正弦函数x()=Asin()、还是复数正弦函数x()=Aej，它们都满足x()=x(+2)，是相位的周期函数，周期为2。 从极坐标图来看正弦函数x()，不管相位转一圈还是两圈，只要是整倍数的圈，它的相位都还是在

4、原来的位置，这就是正弦函数的周期特点。 请记住这个特点，它经常用在信号处理的理论中，因为它可简化许多问题。,图3.3,3.1.2 信号的正弦波成分 由于一个正弦波只用振幅、频率和初相位三个参数就可以描述，所以信号处理的理论经常以正弦波为代表，并用复指数的方法表示正弦波，以简化数学计算。现在研究把信号分解成一系列正弦波成分，其理论依据是计算信号相似程度的相关系数。 假设被处理信号是有限长序列x(n)，它的长度为N，分布在时序0, N-1的范围。现在我们把正弦波当作x(n)的成分，基本正弦波是 它是周期为N的周期序列（提问？）。为了让周期正弦波y(n)更像x(n)的成分，可将x(n)在时序0, N

5、-1的数值作为样板、将x(n)在形式上扩展成为周期序列，那么，x(n)的周期也是N。 下面我们按正弦波(3.6)的周期N对信号x(n)进行分,(3.6),解，或者说，按正弦波的频率高低对信号进行分解。 首先，对时序n进行压缩，即将n替换为nk，可得不同频率2k/N的正弦波 k是基频2/N的倍数，简称频序，这些不同频率的正弦波都可视为信号的成分。 然后，开始分解信号x(n)。分解的标准是： （1）作为成分的数量应该是最少的， （2）根据这些成分能够合成原来的信号。 下面分四步解决：正弦波能否作为信号的成分、怎样计算信号的成分、根据成分能否合成原信号等问题。,(3.7),（1）探寻信号的正弦成分

6、正弦波yk(n)是时序n的周期序列，周期是N；同时，yk(n)也是频序k的周期序列，周期也是N。这是因为 它符合周期序列的定义。yk(n)是k的周期序列也可用极坐标图来理解，当k每增加N时，yk(n)将转一圈。所以，作为有限长序列的成分，只需要一个频序周期的正弦波yk(n)，或者说只需要N个不一样的正弦波，其它频序的正弦波都是这N个正弦波的重复。,(3.8),（2）探寻基本的正弦成分 为了简单起见，选择k=0N-1的正弦波yk(n)作为信号成分。现在还要了解，这N个成分能否再减少。 让我们考察频序k等于两个不同数值p和q时的正弦波yk(n)是否相似？根据相关系数的公式，频序p和q的正弦波yk(

7、n)在时序范围0, N-1的相关系数是,(3.10),正弦波yp(n)和yq(n)相关系数变为 提问：为什么分子=0，分母0？ 相关系数rpq=0说明：不同频序的正弦波yk(n)之间没有关系、互不相同、不能互相代替。这种不能互相代替的关系称为独立或正交。 频序k=0N-1的正弦波之间的正交关系说明：作为信号的基本成分的数量为N，不能再减少了。 这N个独立的正弦波成分称为信号的分量。,(3.10),（3）计算信号的正弦成分 作为信号成分的N个正弦波yk(n)，在信号x(n)中应占的比例或份额是多少才合适呢？现在借鉴相关系数的方法来看这个问题。 用正弦波yk(n)表示信号x(n)的恒等式为 能让正

8、弦波yk(n)最大程度表示信号x(n)的最佳系数c用ck表示。它可用最佳系数的公式(2.28)计算，即,(3.11),(3.12),其频序k代表离散化数字角频率的次序，与n代表离散化时间的次序的作用相同。比例系数ck可以描述信号成分的含量，它是正弦波yk(n)的复数幅度。能让正弦波yk(n)最大程度代表信号x(n)的比例系数是 （提问：为什么分母=N？）通常称ck为第k个分量。从极坐标来看，系数ck的绝对值就是正弦波的振幅（提问？），ck的相位就是正弦波的初始相位（提问？）。,(3.13),11节,（4）用正弦成分合成信号 正弦波能否作为信号的成分，关键是看它们能否合成或恢复原来的信号。现在让

9、我们来看N个独立的正弦波yk(n)，在n=0N-1这个周期内合成的序列z(n)是怎样的。 设这N个正弦波线性相加后得到的序列是,(3.21),根据公式(3.10)的方法：当in时，公式(3.21)中的第2个累加结果=0；当i=n时，公式(3.21)中的第2个累加结果=N（提问？）。所以， 注意：这个结果仅适用于时序0, N-1的范围，因为开始研究成分时，我们认为被处理的信号是有限长的，就在这个范围。 如果x(n)是周期序列，周期是N，则公式(3.22)也适用于n=0N-1以外的值，因为z(n)是周期正弦波yk(n)合成的序列。,(3.22),以上四个步骤说明一个道理：正弦波确实能够作为信号的成

10、分。综合以上的分析：在时序范围0, N-1内，我们关心的信号 其正弦波的复数幅度 k表示离散数字角频率2k/N的序号，2/N表示数字角频率的离散间隔。,(3.23),(3.24),例题3.1 设关注的信号x(n)在时序1, 4范围。请分析x(n)与它的合成序列z(n)的大小关系。 解 根据时序的个数N=4，将合成序列z(n)看作是周期N=4的序列，写为 将它代入合成序列与有限长序列的关系式(3.22)，得 因x(n)在时序1, 4内，故x(n+4r)的时序n+4r必须满足条件1n+4r4，其r为使不等式成立的整数。 例如n=2时，x(2+4r)的r应为0，使得z(2)=x(2)；如果n=6，x

11、(6+4r)的r应为-1，使得z(6)= x(6-4)=x(2)。其结果可用图形表示，,(3.25),(3.26),如图3.5所示。 图3.5的z(-2)、z(2)和z(6)显示：z(n)是以x(n)为样板、沿水平方向周期变化的信号，周期为4。,图3.5,例题3.2 已知一个方波信号x(n)的数学表达式为 其波形如图所示。请分析信号x(n)在时序0, 11范围的 正弦波成分，并用这些成分合成信号z(n)。 解 已知方波x(n)在时序0, 11内的样本数量N=12。,(3.27),图3.6,（1）分析成分 根据分析公式，信号x(n)的正弦波成分的幅度 按照式(3.28)的特点，对ck的求和分两步

12、完成（提问？）。 当k=0时，,(3.28),当k=111时，利用等比级数的求和公式， 最后写为 为了便于观察幅度和相位，最好把ck变为极坐标的形式。,(3.29),这里介绍一个复数变换的技巧，即 再利用复指数公式(3.5)，把上式变为 现在把复数变换的技巧用到幅度ck的公式中，可得到强调半径和相位的极坐标表达式,(3.30),(3.31),(3.32),由于ck是复数，用波形来表示它有助于更好地了解它的特点。为了提高效率，这里借助计算机和数学软件MATLAB，其程序如下： 程序的运行结果如图3.7所示。,N=12;n=0:N-1;k=n;%设置时序和频序的范围 x=ones(1,6),-on

13、es(1,6);%建立方波信号x(n) ck=1/12*x*exp(-j*2*pi*n*k/12);%计算方波信号x(n)的频谱 subplot(211);stem(k,abs(ck),.r);grid,axis(0,12,0,0.7),xlabel(k);ylabel(|c_k|);%画方波信号x(n)的幅频特性 subplot(212);stem(k,angle(ck),.);grid,axis(0,12,-3,3),xlabel(k);ylabel(arg(c_k);%画方波信号x(n)的相频特性,图3.7上图是ck的幅值|ck|与频序k的关系图，叫幅频特性，下图是ck的相位arg(ck

14、)与频序k的关系图，叫相频特性。反映复数幅度和频序关系的ck称频谱。 |ck|清楚地显示k为偶数的正弦波成分为0，或者说，用6个复数正弦波就可以组成原方波信号x(n)。,图3.7,12节,（2）合成信号 如果我们收到的是信号的成分，需要根据ck来恢复原信号，可按综合公式来合成信号z(n)。采用数值计算或数学推导都可以。 下面是数学推导。根据公式(3.32)，合成序列 它由6个复数正弦波组成。由于x(n)是实数序列，所以z(n)应该可以转化为实数序列。 观察式(3.34)的6个幅度参数，后三项和前三项的,(3.34),幅度相同，对公式(3.34)的后三个正弦波应用虚指数的周期特性，即 得 将它们

15、代入式(3.34)，得到,(3.35),(3.36),对它们运用欧拉公式，可得实数的合成信号 这是三个实数余弦波的线性组合。如何了解合成序列z(n)的波形呢？ 绘制合成序列z(n)的波形图的MATLAB程序为： 程序转下页,(3.37),N=12;n=0:N-1;k=n;%设置信号的时序和频序的范围 x=n=6;%建立方波信号x(n),程序接上页 程序运行后的结果：有合成信号z(n)的波形图，还有原信号x(n)与合成信号z(n)的相关系数rxz。,c=1/N*x*exp(-j*2*pi*n*k/N);%求信号x(n)的频谱 n=-5:20;%设置合成信号z(n)的时序 z=c*exp(j*2*pi*k*n/N);zn=z(6:17);%计算合成信号z(n)和截取时序n=011的z(n) stem(n,real(z),.r);axis tight%画波形，坐标紧凑 xlabel(n);ylabel(realz(n);grid%写z(n)的实数序列的坐标符号 rzx=(zn*x)/sqrt(zn*zn)*(x*x) %计算n=011时z(n)和x(n)的相关系数,合成信号z(n)的波形如图3