《数字信号处理第二版丁玉美第2章时域离散信号和系统的频域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理第二版丁玉美第2章时域离散信号和系统的频域分析（155页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.1 引言,我们知道信号和系统的分析方法有两种， 即时域分析方法和频率分析方法。 在模拟领域中， 信号一般用连续变量时间t的函数表示， 系统则用微分方程描述。 为了在频率域进行分析， 用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。 而在时域离散信号和系统中， 信号用序列表示， 其自变量仅取整数， 非整数时无定义， 而
2、系统则用差分方程描述。,频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换， 它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变换， 很多性质是类似的。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换， 以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。 本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义,(2.2.1),为序列x(n)的傅里叶变换， 可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式：,(2.2.2),为求FT的
3、反变换， 用e jn乘(2.2.1)式两边， 并在 -内对进行积分， 得到,(2.2.3),(2.2.4),式中,因此,上式即是FT的逆变换。 (2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。 (2.2.2)式是FT存在的充分必要条件， 如果引入冲激函数， 一些绝对不可和的序列， 例如周期序列， 其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来， 这部分内容在下面介绍。,例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT,解：,(2.2.5),设N=4， 幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。,图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周
4、期性 在定义(2.2.1)式中， n取整数， 因此下式成立,M为整数(2.2.6),因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周期是2。 这样X(ej)可以展成傅里叶级数， 其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数。,图 2.2.2 cosn的波形,2. 线性,那么,设,式中a, b为常数 3. 时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么,(2.2.7),(2.2.8),(2.2.9),4. FT的对称性 在学习FT的对称性以前， 先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。 设序列xe(n)满足下式： xe(n)=x*e(-n) (2.2.10) 则称xe(n)
5、为共轭对称序列。 为研究共轭对称序列具有什么性质， 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 将上式两边n用-n代替， 并取共轭， 得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) (2.2.11) xei(n)=-xei(-n) (2.2.12) 由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数， 而虚部是奇函数。 类似地， 可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n)=-x*o(-n) (2.2.13),将x0(n)表示成实部与虚部如下式： xo(n)=xor(n)+jxoi(n) 可以得到
6、 xor(n)=-xor(-n) (2.2.14) xoi(n)-xoi(-n) (2.2.15) 即共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数。,例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因此x(n)=x*(-n)， 满足(2.2.10)式， x(n)是共轭对称序列， 如展成实部与虚部， 得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明， 共轭对称序列的实部确实是偶函数， 虚部是奇函数。,对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， 即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.16) 式中xe
7、(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出， 将(2.2.16)式中的n用-n代替， 再取共轭得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n) (2.2.17) 利用(2.2.16)和(2.2.17)两式， 得到,(2.2.18),(2.2.19),利用上面两式， 可以分别求出xe(n)和xo(n)。 对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) (2.2.10) 式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分， 它们满足 Xe(ej) =X*e(e-j) (2.2.21) Xo(ej) =-X*o(e-j) (2.2.22)
8、同样有下面公式满足：,(2.2.23),(2.2.24),(a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进行FT， 得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j),式中,上面两式中， xr(n)和xi(n)都是实数序列， 容易证明Xe(ej)满足(2.2.21)式， 个有共轭对称性， 它的实部是偶函数， 虚部是奇函数。 Xo(ej)满足(2.2.22)式， 具有共轭反对称性质， 其实部是奇函数， 虚部是偶函数。,最后得到结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。 (b)
9、将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25) 将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：,将上面两式分别进行FT， 得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej) 因此对(2.2.25)式进行FT得到： X(ej)=XR(ej)+jXI(ej) (2.2.26),(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部。,因为h
10、(n)是实序列， 其FT只有共轭对称部分He(ej)， 共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j),按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到 h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 因为h(n)是实因果序列， 按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：,(2.2.27),(2.2.28),实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)=
11、he(n)u+(n) (2.2.29) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n) (2.2.30),(2.2.31),例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n) 按(2.2.2)式得到,按照(2.2.28)式得到,图 2.2.3 例2.2.3图,5. 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(e j)=X(e j)H(e j) (2.2.32) 证明,令k=n-m,该定理说明， 两序列卷积的FT， 服从相乘的关系。 对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应F
12、T。 因此求系统的输出信号， 可以在时域用卷积公式(1.3.7)计算， 也可以在频域按照(2.2.32)式， 求出输出的FT， 再作逆FT求出输出信号。,6. 频域卷积定理 设y(n)=x(n)h(n) (2.2.33),7. 帕斯维尔(Parseval)定理,(2.2.34),帕斯维尔定理告诉我们， 信号时域的总能量等于频域的总能量。 要说明一下， 这里频域总能量是指|X(e j)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。 最后， 表2.2.1综合了FT的性质， 这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。,表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质,2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示
13、式,2.3.1周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列， 由于是周期性的， 可以展成傅里叶级数,(2.3.1),式中ak是傅里叶级数的系数。 为求系数ak， 将上 式两边乘以 ， 并对n在一个周期N中求和,(2.3.2)式的证明， 作为练习自己证明。 因此 上式中， k和n均取整数， 当k或者n变化时， 是周期为N的周期函数， 可表示成,(2.3.2),-k (2.3.3),取整数,上式中 也是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数， 用DFS(Discrete Fourier Series)表示。 如对(2.3.4)式两端乘以 ， 并对k在一个周期中求和， 得到,同样
14、按照(2.3.2)式， 得到,(2.3.5),将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下：,(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。 (2.3.5)式表明将周期序列分解成N次谐波， 第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2 N-1， 幅度为 。 其波分量的频率是2/N， 幅度是 。 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,(2.3.6),(2.3.7),例 2.3.1设x(n)=R4(n)， 将x(n)以N=8为周期， 进 行周期延拓， 得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ， 周期为8， 求 的DFS。 解： 按照(2.3.4)式,其幅度特性 如图2.3
15、.1(b)所示。,图 2.3.1 例2.3.1图,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， ， 其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数， 强度是2， 即,(2.3.8),对于时域离散系统中， x(n)=e jon， 2/o为 有理数， 暂时假定其FT的形式与(2.3.8)式一样， 也是 在=0处的单位冲激函数， 强度为2，但由于n取 整数， 下式成立,取整数,上式表示复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2如科2.3.2所示。 但这种假定如果成立， 要求按照(2.2.4)式的逆变换必须存在， 且唯一等于 ， 下面进行验证， 按照(2.2.4)式,因此e j0n的FT为,(2.3.9),图 2.3.2 的 FT,观察
