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1、第四章 离散傅里叶变换,2,本章目录,引言,离散傅里叶变换的定义,离散傅里叶变换的基本性质,频域取样,Matlab实现,离散傅里叶变换的应用,3,4.1 引言,各种形式的傅里叶变换 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续函数 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率函数 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都是离散的、周期的,4,各种形式的傅里叶变换示意图,5,傅里叶变换的一般规律,如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函数。 相反，在时域上是离散的，则该
2、信号在频域必然表现为周期性的频率函数。 如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都是离散周期的。 得出一般的规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。,6,离散傅里叶变换的导出,由于数字计算机只能计算有限长离散的序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要。 Z变换和傅里叶变换无法直接利用计算机进行数值计算。 针对有限长序列“时域有限”这一特点，导出一种更有用的离散傅里叶变换DFT (Discrete Fourier Transform)。,7,4.2 离散傅里叶
3、变换的定义,离散傅里叶变换的定义 DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 DFT的隐含周期性,8,4.2.1 离散傅里叶变换的定义,离散傅里叶正变换(DFT)定义,0kN -1,0n N -1,x(n)长度为N，作为周期序列的一个主值区间,离散傅里叶反变换(IDFT)定义,式中,9,例4.1 ：设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。,解（1）x(n)的傅里叶变换,（2）x(n)的4点DFT,例：离散傅里叶变换,10,（3）x(n)的8点DFT,k=0，1，7,（4）x(n)的16点DFT,k=0，1，15,11,例4.1 的图形显示,从图4
4、.2可见，同一序列不同点数的DFT是不相同的。 比较可以发现，对原序列尾部补零后增加的谱线只是有规律地插在频谱的一个周期内。,12,4.2.2 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系,设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变换分别为,0k N-1,13,三种变换的关系,0k N-1,0k N-1,比较三式可得,式(4.3)表明，序列x(n)的N点DFT相当于是在x(n)的z变换的单位圆上进行N点等间隔取样，同时第一个取样点应取在z= 1处。 式(4.4)说明，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在区间0，2上的N点等间隔取样。,14,DFT和Z变换的关系,0k N-1,N8时
5、，单位圆上的8个等间隔取样点示意图。,15,DFT和序列的傅里叶变换的关系,物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ej)在区间 0，2上的N点等间隔取样。,0k N-1,16,4.2.3 DFT的隐含周期性,DFT变换对中，,具有周期性：,其中k，m，N均为整数,因此有,结论：X(k)具有隐含周期性，且周期均为N。 同理可得 。,17,周期序列与周期延拓序列,任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个周期，即,引入运算符(n)N，表示n对N求余数，即如果,n = mN + n1，0n1N-1，M为整数,则,(n)N = (n1+m
6、N) N=n1,18,例: 序列的周期延拓,例如，N=8， ，则有,x(?),=x(7),于是,19,主值序列,如果x(n)的长度为N，且 ，则可写出 的离散傅里叶级数表达式,式中,结论：有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是x(n)的周期延拓序列x(n)N的离散傅里叶级数系数 的主值序列。,20,4.3 离散傅里叶变换的基本性质,线性性质 循环移位性质 循环卷积定理 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性,21,4.3.1 线性性质,设x1(n)和x2(n) 长度分别为N1和N2，且,取N= maxN1，N2，则y(n)的N点DFT为,0k N1,注意：如果N1和N2不相等，则以
7、N为DFT变换长度时，其中相对较短的序列就通过补零增加到长度为N。,22,4.3.2 循环移位性质,序列的循环移位,设x(n) 长度为N，则x(n)的 循环移位定义为,23,时域循环移位定理,设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位， 即,则,其中， 0k N1，,时域循环移位定理,24,时域循环移位定理证明,证明,令n+m=n，则有,25,频域循环移位定理,频域循环移位定理,如果X(k)=DFTx(n)，0kN-1，Y(k)=X(k+l)NRN(k)，则,证明方法与时域循环移位定理类似。,26,4.3.3 循环卷积定理,循环卷积定理,x1(n)和x2(n)的长度分别为N
8、1和N2，N=maxN1, N2。,如果X(k)= X1(k) X2(k)，则,或,27,循环卷积定理证明,令nm=n，则有,证明,28,因为上式中 以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果不变，因此,0kN-1,上面讨论的为时域循环卷积定理。,时域循环移位定理讨论,29,频域循环移位定理讨论,x(n)= x1(n) x2(n),则,或,30,4.3.4 复共轭序列的DFT,复共轭序列的DFT,设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，,0kN-1 (4.17),则,且,31,4.4 频域取样,频域取样 指对序列的傅里叶变换或系统的频率特性进行取样。 由时域取样定理，在一定的条件下，可以
9、通过时域离散取样信号恢复原来的连续信号。 对有限长序列而言，由DFT的讨论可知，DFT是在频域内对序列傅里叶变换X(j)的等间隔取样，即实现了频域取样。 还可以利用内插公式由X(k)恢复原来的连续谱信号，即频率函数X(j)。,32,4.4.1 频域取样,设任意序列x(n)存在Z变换，且收敛域包括单位圆,在单位圆上对X(z)进行N点等间隔取样，得到,问题：能否利用取样值X(k)恢复原始的时域信号x(n)？,33,将X(k)看成是长度为N的有限长序列 的DFT，即,0nN-1,定义,由于,所以,34,代入频率取样值，得,式中，x(m)x(n)。,由于,所以,35,的意义,是原序列x(n)以N为周期
10、的周期延拓序列。时域的取样造成频域的周期延拓，频域上的取样，同样也造成时域的周期延拓，这正是傅里叶变换时域和频域之间对称关系的反映。,如果序列x(n)的长度为M，当 NM ，,产生时域混叠现象。,只有当频域取样点数NM时,36,4.4.2 X(z)的内插公式,X(z)的内插公式,即用频域取样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数。,设序列x(n)的长度为N，在X(z)单位圆上等间隔取样 N点，则可以从X(k)无失真地恢复x(n)，因而这N个X(k)也 应该能完全表达整个X(z)函数及频响X(ejw)。,k=0，1，N-1,把x(n)代入X(z),37,由于,38,令,则,内插公式,内插函数,
11、39,4.5 离散傅里叶变换的应用,用DFT计算线性卷积 用DFT对连续信号进行谱分析 用DFT对序列进行谱分析,40,4.5.1 用DFT计算线性卷积,设x1(n)和x2(n)都是长度为L的有限长因果序列，它们的循环卷积为,且,由时域循环卷积定理有,0kL-1,41,用DFT计算循环卷积方框图,用DFT计算循环卷积方框图,理由：DFT运算存在快速算法（FFT）。,42,循环卷积与线性卷积相等的条件,条件： 两个长度分别为N和M的序列，其线性卷积可用长度为L的循环卷积来代替，但必满足条件 LN+M-1,43,卷积相等条件的讨论,假设h(n)长度为N，x(n)长度为M，则线性卷积为,循环卷积为,
12、其中，LmaxN，M，,44,由上可得,上式中,因此,45,y2(n)是y1(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。,由于卷积y1(n)的长度为N+M-1，因此当循环卷积的长度LN+M-1时，以为L周期的周期延拓才不会出现混叠现象，此时取主值序列显然满足y2(n)y1(n) 。,说明：,46,4.5.2 用DFT对连续信号进行谱分析,DFT是连续傅里叶变换的近似,分析连续时间信号的频谱, 即求其傅里叶变换：,借助计算机分析其频谱时，需要在时域和频域离散化，即对xa(t) 的取样序列求DFT ，这时，求出的X(k) 是否能代表原信号的频谱？精度如何保证？,47,用DFT计算信号频谱原理,48,
13、49,50,可见，DFT是对连续傅里叶变换的近似，误差主要由取样引起的频谱混叠及信号截取引起的频谱波皱所造成。,（1）时域取样间隔(T)应足够小；,（2）频域取样间隔(F)应足够小；,（3）截取长度(T0)应足够大。, DFT的点数,应足够大。或采取加权技术以,提高近似程度。,为提高近似精度：,51,谱分析的参数选择原则,（1）fc：已知信号最高频率,定义如下参数：,（2）fs：取样频率,fs 2 fc,（4）F：谱分辨率，指频域取样中两相邻点的频率间隔,（3）T：取样周期,（5）tp：信号的最小记录长度,（6）N：一个记录长度中的取样点数,52,谱分析参数间的关系,参数间的关系：,fs 2
14、fc,分析：,（1）如果保持取样点数N不变，要提高谱的分辨率， 必须降低取样频率，取样频率的降低会引起谱 分析范围减少。,（2）如维持fs不变，为提高谱的分辨率可以增加取 样点数N。,53,tp和N可按照下式选择：,总之，为了提高谱分辨率，同时又照顾到谱分析范围不减少，必须增长记录时间，增加取样点数。应当注意，这种提高谱分辨率的条件是时域取样必须满足取样定理，甚至选取样速率fs为信号最高频率fc的3-5倍更好。,54,4.6 Matlab实现,DFT物理意义的Matlab实现 用DFT计算线性卷积的Matlab实现 频域取样定理的Matlab实现 高密度谱与高分辨率谱差异的Matlab实现,5
15、5,4.6.1 DFT物理意义的Matlab实现,序列的N点DFT的物理意义: 对X(ej)在0，2上进行N点的等间隔取样。 函数fft用于快速计算离散傅里叶变换，调用方式为 y= fft(x); y= fft(x, N); y= fft(x)利用FFT算法计算序列x的离散傅里叶变换。 当x为矩阵时，y为矩阵x每一列的FFT。 当x长度为2的整数次幂时，函数fft采用基-2的FFT算法，否则采用混合基算法。 y= fft(x, N)采用N点FFT。 当序列x长度小于N时，函数fft自动对序列尾部补零，构成N点数据； 当x长度大于N时，函数fft自动截取序列前面N点数据进行FFT。,56,4.6.2 用DFT计算线性卷积的Matlab实现,函数ifft用于快速计算向量或矩阵的离散傅里叶逆变换，与函数fft的调用规则基本相同。 调用方式为 y= ifft(x); y= ifft(x, N);,57,例：利用FFT实现线性卷积,例4.4 利用FFT实现线性卷积。已知序列x(n)= R4(n)，求： （1）用conv函数求x(n)与x(n)的线性卷积y(n)，并绘出图形； （2）用FFT求x(n)与x(n)的4点循环卷积y1(n)，并绘出图形； （3）用FFT求x(n)与x(n)的8点循环卷积y
