数字信号处理课件第二章节时域离散信号和系统的频域分析

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1、第二章 时域离散信号和系统的频域分析,本章内容：,2.1 引言,2.2 时域离散信号的傅里叶变换,2.3 时域离散信号的Z变换,2.4 利用Z变换对信号和系统进行分析,2.1 引言,信号、系统,分析信号在时间分布上的特性 和运算：直观，物理概念会比 较的清楚。,分析信号在频率分布上的特性 和运算：这给了我们换个视角 观察信号的机会，我们会发现 许多在时间域上得不到的特性 和运算。,时间域,频率域,FT、ZT,IFT、IZT,返回,2.2 时域离散信号的傅里叶变换,返回,2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义,2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数,2.2.3 周期信号的傅里叶变换,2.2.4

2、 时域离散信号傅里叶变换的性质,2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义,定义 为时域离散信号x(n)的傅里叶变换，简称FT(Fourier Transform)。上式成立的条件是序列绝对可和，或者 说序列的能量有限，即满足下面的公式： 对于不满足上式的信号，可以引入奇异函数，使之能够 用傅里叶变换表示出来。,(2.2.1),回到本节,返回,离散信号FT和模拟信号FT的比较：,离散信号FT 模拟信号FT 可以发现二者的实质是一样的，都是完成时间域 频域 的转换，不同处： 时间变量：n取整数，求和运算； t取连续变量，积分运算。 频域变量：是数字频率的连续变量，以2为周期； 是模拟频率的连续变

3、量，无周期性。,回到本节,返回,2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数,设 是以N为周期的周期序列，具有周期性，能 够展成傅里叶级数，即： 式中，ak是离散傅里叶级数的系数。 为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一 个周期N中求和，得到：,(2.2.5),回到本节,返回,将上式右边的两个求和号交换位置，得到： 式中,回到本节,返回,因此得到 上式中,k和n均取整数，当k变化时， 是周期为N 的周期函数，所以ak是以N为周期的周期序列，即 ak=ak+ln 令 将式(2.2.7)代入上式，得到 这里 是以N为周期的周期序列。一般简称 为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fro

4、urier Series)表示，即 。,(2.2.7),(2.2.10),(2.2.9),回到本节,返回,由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我们能够得到 将式(2.2.7)和式(2.2.10)写在一起，成为离散傅里叶 级数对。 这里 和 均是周期为N的序列。,(2.2.11),返回,回到本节,2.2.3 周期信号的傅里叶变换,复指数序列的傅里叶变换表达式 在模拟系统中， 的傅里叶变换是在 处 的一个冲激，强度为2，即 对于时域离散系统中的复指数序列 ，仍假设它的 傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度为2，考 虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此 的 傅里叶变换应写为：,回到本节,返回,一

5、般周期序列 的傅里叶变换 假设 的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即 上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中第K项 即为第K次谐波 的傅里叶变换根据 其周期性能够表示为：,返回,回到本节,周期序列 由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可 以表示成 式中，k=0,1,2,N-1, r=-3,-2,-1,0,1,2, 以N为周期，而r变化时，函数变化2r，因此 如果让k在(-,)变化，上式可以简化为 上式就是一般周期序列 的傅里叶变换表达式。,教材中表2.2.1 列举了基本序 列的傅里叶变 换对。,返回,回到本节,例2.1： 令 ， 为有理数，求其傅里叶变 换。 解: 将 用欧拉公式展开为 由

6、 得余弦序列的傅里叶变换为,返回,回到本节,上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在 处的冲激函 数，强度为，同时以2为周期进行周期性延拓，如下图所 示。 对于正弦序列 ， 为有理数，它的傅里叶变 换为,回到本节,返回,P31 基本序列的傅立叶变换,LT2x1 对上式0,pi之间501个等分点求值,画出幅度.相位.实部.虚部. LT2x2,2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质,时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些 性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考教材中表 P32 2.2.2。 本小节重点介绍： 傅里叶变换的周期性 频域卷积定理 傅里叶变换的对称性,回到本节,返回,傅里叶变换的

7、周期性： 频域卷积定理： 假设 ， ， 则 交换积分的求和次序，我们同样能够得到 该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积 关系。,此定理亦称为调制定理,回到本节,返回,傅里叶变换的对称性： 一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表 示它的实部，用下标i表示它的虚部： 复序列中有共轭对称序列和轭对称序列，分别用下 标e和o表示 共轭对称序列满足 复轭对称序列满足,回到本节,返回,一般序列傅里叶变换的对称性质 一般序列可以表示为 其实部 的傅里叶变换可以用下式来表示 将上式右面的加负号，在将右边取共轭，右边表达式 不变，这说明实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质， 可以用 表示。

8、 很容易证明，将j乘以实数序列 的傅里叶变换具有 共轭反对称性质，用 表示。,返回,回到本节,这样 式中 这样我们能够得到结论： 一般序列的傅里叶变换分成共轭对称分量和共轭反对称 分量两部分，其中共轭对称分量对应序列的实部，而共 轭反对称分量对应这序列的虚部（包括j）。,返回,回到本节,如果将序列分为共轭对称和共轭反对称两部分，即 由 我们得到 对上面两式分别求傅里叶变换，得到,返回,回到本节,这样 我们能够得到结论: 傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，而它的虚部(包括j)对应序列的共轭反对称部分。 值得注意： 在一般实际应用中，我们常常遇到的序列是实序列，实序列 相当于一般的序列中只有

9、实部，没有虚部，因此实序列的傅 里叶变换具有共轭对称性质，它的实部是偶函数，虚部是奇 函数。 如果实序列还是偶对称的，其傅里叶变换应该是实偶对称函 数；如果实序列是奇对称的，那么其傅里叶变换是虚对称 的，且是纯虚函数。,返回,回到本节,2.3 时域离散信号的Z变换,在模拟系统中，用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉 斯变换是傅里叶变换的推广，用于对信号在复频域的分 析。在数字域中，用序列傅里叶变换进行频域分析，Z 变换是其推广，用于对信号在复频域中的分析。 本节主要讲述:,返回,2.3.1 时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变 换的关系,2.3.2 Z变换的收敛域与序列特性之间的关系,2.3

10、.3 逆Z变换,2.3.4 Z变换的性质和定理,2.3.1 时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系,Z变换的定义 定义序列X(n)的Z变换为 式中，Z是复变量，它所在的复平面称为Z平面。这里求 和极限为-+，故亦称为双边Z变换，当求和极限 为0+时，为单边Z变换，本书不做说明时均为双边Z 变换。 Z变换存在的充分条件为,返回,回到本节,Z变换的收敛域为 使Z变换存在的 的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛 域一般用环状域表示，即Rx-|z|Rx+， Rx-和Rx+分别称 为收敛域的最小收敛半径和最大收敛半径。上图所示的 阴影部分即为收敛半径。最小半径可以达到0，而最大 半径可以达到+

11、。,收敛域是Z变换非常重要不可缺少的一部分,回到本节,返回,Z变换和傅里叶变换之间的关系 Z变换 令上式中的 ，得到 式中，r是z的模，是它的相位，也就是数字频率。这 样， 就是序列x(n)乘以实指数序列r-n后的傅里叶 变换。,回到本节,返回,如果r= =1，Z变换就变成了傅里叶变换了，即 r=1指的是Z平面上的单位圆，因此傅里叶变换就 是Z平面单位圆上的Z变换。,单位圆必须包含在收敛域中，否则单位圆上的Z变换不存在，傅里叶变换也就不存在。,回到本节,返回,2.3.2 Z变换的收敛域与序列特性之间的关系,序列可以分为有限长序列、右序列、左序列以及双边序 列等四种情况，它们的收敛域各有特点，掌

12、握这些特点 对分析和应用Z变换很有帮助。 有限长序列Z变换的收敛域 有限长序列 Z变换为 收敛域为,回到本节,返回,右序列Z变换的收敛域 右序列是指x(n)只在nn1序列值不全为零，在其他的区 间均为零的序列。 右序列的Z变换 式中n1-1。,回到本节,返回,上式右边： 第一项是有限序列的Z变换，收敛域为0 |z|。 第二项为因果序列的Z变换，其收敛域为Rx-|z|。 将两个收敛域相与，得到它的收敛域为Rx-|z|。 如果x(n)是因果序列，即设n10，它的收敛域为Rx- |z|。,回到本节,返回,左序列Z变换的收敛域 与右序列类似，左序列是指x(n)只在nn1序列值不全为 零，在其他的区间均

13、为零的序列。 左序列的Z变换为 式中，n10。,回到本节,返回,上式右边： 第一项的收敛域为0 |z|Rx+， 第二项的收敛域为0|z|， 将两个收敛域相与，得到左序列的收敛域为0|z| Rx+ 。 如果n10，则收敛域为0 |z|Rx+。,回到本节,返回,双边序列Z变换的收敛域 双边序列就是在-+之间均有非零值的序列。 双边序列的Z变换,回到本节,返回,上式中： 右边第一项是左序列的Z变换，收敛域是0|z|Rx+， 第二项是右序列的Z变换，收敛域为Rx-|z|， 将两个域相与，得到双边序列的收敛域为Rx-|z|Rx+。,这几种序列 的收敛域对 比可以见书 中表2.3.1。,回到本节,返回,例

14、2.2：设 ，求它的Z变换，并确定收敛域。 解: 为使X(z)收敛，要求 ，即 ，解得 ，这样得到 就是该Z变换的收敛域。,回到本节,返回,例2.3：求 的Z变换及其收敛域。 解: 这是一个左序列，当 时，序列值为零。 如果X(z)存在，则要求 ，得到收敛域为 。在收 敛域中，该Z变换为,我们将例2.2和例2.3进行比较，两者Z变换的函数表达式一样，但收敛域却不相同，对应的原序列也不同，因此正确地确定收敛域是很重要。,回到本节,返回,2.3.3 逆Z变换,已知序列的Z变换及其收敛域，求原序列，称为逆Z变 换(IZT)。 求逆Z变换有三种方法: 部分分式展开法：有理分式展成简单部分分式，查表。

15、围线积分法：常用方法，重点介绍 幂级数法：原理简单，使用不便，本书不介绍,回到本节,返回,部分分式法 原理是将Z变换的有理分式展成简单的部分分式， 通过查表得到原序列。 假设X(z)有一个一阶极点，可展开如下的部分分式： 观察上式，X(z)/z在z=0的极点，留数等于系数A0，在z=zm 的极点，留数等于系数Am，即,见书中 表2.3.3,回到本节,返回,这样，将上面的两式带入由X(z)展开得到的部分分式中 去，在通过查表（书中表2.3.2）就能够得到原序列。 但我们知道收敛域不同，即使同一个z函数也可以有不 同的原序列对应，因此根据给定的收敛域，应正确地确 定每个分式的收敛域，这样才能得到正确的原序列。,回到本节,返回,围线积分法 已知序列大的Z变换和收敛域，求原序列的公式为 式中，c是X(z)的收敛域中的一条包含原点的逆时针旋转 的封闭曲线，如下图所示。,回到本节,返回,直接计算围线积分比较麻烦，下面介绍用留数定理求逆Z 变换的方法： 令 ，F(z)在围线c内的极点用 表示， 假设有M个极点。根据留数定理 式中， 表示被积函数F(z)在极点 的留数。求 逆Z变换就是求围线c内所有极点的留数之和。 如果极点是单阶极点，根据留数定理，极点 的留数 用