数字信号处理4章节

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1、第4章 离散傅里叶变换（DFT）,Discrete Fourier Transform,引言,对一个序列长度未加以任何限制，则一个序列可分为： （1）无限长序列： n=-或n=0或n=- 0 （2）有限长序列： 0nN-1 有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列。由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。,由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。 DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。 DFT变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法-FFT,因而使离散付里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的

2、算法中起着核心的作用。,1.傅里叶变换的几种形式,傅 里 叶 变 换 ： 建立以时间为自变量的 “ 信号 ” 以频率为自变量的 “频谱” 函数. “ 时 间 ” 或 “ 频 率 ” 取 连 续 还 是 离 散 值 , 就形成各种不同形式的傅里叶变换对 。 存在四种不同形式的傅里叶变换对,四种不同傅里叶变换对 （1）傅里叶变换(FT)： 连续时间,连续频率的傅里叶变换 （2）傅里叶级数(FS)： 连续时间 , 离散频率的傅里叶变换 （3）序列的傅里叶变换(DTFT)： 离散时间,连续频率的傅里叶变换 （4）离散傅里叶变换(DFT)： 离散时间,离散频率的傅里叶变换 假定数字频率为w,模拟频率为。

3、,一、 非周期连续时间信号的傅里叶变换,非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT) 得到非周期连续频谱密度函数。,正变换：,逆变换：,条件：,以下变换对可以看出 （1）时域 连 续 函 数 造成频域是非周期的谱 , （2）时域的非周期造成频域是连续的谱 .,二、周期连续时间信号的傅里叶变换,周期连续时间信号 非周期离散频谱密度函数。 周期为Tp的周期性连续时间函数 xa(t)可展成傅里叶级数X(m) ,是离散非周期性频谱 , 表 示为:,FS,正变换：,反变换：,条件：,通过以下变换对可以看出 （1）时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数 （2）频域的离散频谱与时域的周期时间函数对应 (频

4、域采样，时域周期延拓),三、非周期离散信号的傅里叶变换,非周期离散的时间信号得到周期性连续的频率函数。,正变换：,反变换：,其中w是数字频率，它和模拟角频率的关系为w=T 取样频率 与取样周期T的关系： 取样的数字频率为,（1）时域的离散造成频域的周期延拓 , （2）时域的非周期对应于频域的连续 .,四、周期离散信号的傅里叶变换,上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算 , 因为至少在一个域 ( 时 域 或 频 域 ) 中 , 函数是连续的。因为从数字计算角度,我们 感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是 我们这里要谈到的离散傅里叶变换 . 周期性离散时间信号从上可以推断： （1

5、）周期性时间信号可以产生频谱是离散的 （2）离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。,一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。,其中,正变换：,反变换：,四种付里叶变换形式的归纳,2.离散付里叶级数(DFS),周期性序列的离散傅里叶级数(DFS) 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT).,由DFS引出DFT的定义,有限长序列的傅里叶变换称为离散傅里叶变换，简写为DFT。 DFT可以按3个步骤由 DFS推导出来： 将有限长序列延拓成周期序列； 求周期序列的DFS； 从DFS中取出一个周期便得到有限长 序列的DFT。,DFS定义,设 为周 期 为 N 的 周

6、 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正 变 换 反变换 其中:,DFS离散付里级数的推导意义,(1)用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字信号处理有实用价值。 (2)如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如何从以上三种形式推出DFS.,由非周期连续时间信号推出DFS,x(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信号进行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即为DFS.,x(t

7、),t,取样,x(t),t,DTFT,X(ejT),采样,X(ejw),w,周期性连续时间信号函数,周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数(DFS)。,x(t),X(ejw),t,w,采样,x(n),n,DFS,非周期离散时间信号,非周期离散时间信号经过序列傅里时变换(即单位园上的Z变换)DTFT,得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。,x(t),t,X(ejT),w,X(ejw),DTFT,采样,推导DFS正变换,由第三种傅里叶级数形式为例推导出离散付里叶级数变换。 非周期信号x(n),其DTFT(单位园上Z变换)为,其为周期连续频谱密度函数，对

8、其频域进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为,即得出DFS的正变换：,得到各抽样频点频率为： 代入DTFT式子中，这时由于抽样，信号变成周期离散信号 ，得,DFS的反变换,解：已知,两边同乘以 ,并对一个周期求和,根据正交定理,用n替换r,可得：,即得：,设 x(n)为周期为N的周期序列,则其离散傅里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正 变 换,反变 换,离散付里叶级数的性质,可以由抽样Z变换来解析DFS，它的许多性质与Z变换性质类似。 它们与Z变换主要区别为： (1) 与 两者具有周期性，与Z变换不同。 (2)DFS在时域和频域之间具有严格

9、的对偶 关系。 它们主要性质分为：线性、序列移位(循环移位)、调制性、周期卷积和,假设,令 和 皆是周期为N的周期序列，它们各自的DFS为,线性,其中a,b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为N。,序列移位(循环、移位),（1）时域,证明：,令 i=n+m,得,调制性,（2）频域,证明：,时域乘以虚指数( )的m次幂，频域搬移m,调制特性。,时域卷积,周期卷积和与以前卷积不同，它的卷积过程限在一个周期内称为周期卷积。 频域相乘等于时域卷积（指周期卷积）。 频域 ：,则有：,相乘,时域卷积,证明：,代入：,则：,频域卷积,时域：,相乘,周期卷积,频域：,3.离散付里叶变换,周期序列实

10、际上只有有限个序列值才有意义 ,因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长 序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT). 时域周期序列看作是有限 长序列x(n)的周期延拓; 频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期 延 拓 要把DFS的定义式两边（时域、频域）各取主值区间,就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对. 这就是数字信号处理课程里最重要的变换 - 离 散 傅 里 叶 变 换 (DFT).,DFT-有限长序列的离散频域表示 一.预备知识 1.余数运算表达式 如果 ， m为整数；则有： 此运算符表示n被N除，商为m，余数为 。 是 的解,或称作取余数,或说作n对N取 模值,

11、或简称为取模值,n模N。,例如： (1) (2),先取模值，后进行函数运作; 而 视作将 周期延拓。,2.,二.有限长序列x(n)和周期序列 的关系,周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。,有限长序列x(n)是周期序列 的主值序列。,三.周期序列 与有限长序列X(k)的关系,同样， 周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。,而有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。,四.从DFS到DFT,从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。,因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。,或者：,DFT定义,正变换 反变换 X(

12、k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。 在离散傅里叶变换关系中,有限长序列都作为周期序列的一个周期来表示,都隐含有周期性意义.,例,DFT涉及的基本概念,1. 主值(主值区间、主值序列) 2. 移位(线性移位、圆周移位) 3. 卷积(线性卷积、圆周卷积) 4. 对称(序列的对称性、序列的对称分量) 5. 相关(线性相关、圆周相关),1. 主 值(主值区间、主值序列),主值区间：设有限长序列 x(n) ,0nN-1 , 将 其延拓为周期序列 , 周期序列长度为N, 则第一个周期n=0 到 n=N-1的区间称为主值区间. 主值序列: 设有限长序列x(n)

13、, 0nN-1,将其延拓为周期序列 , 周期为N, 则 主 值 区间内的序列x(n)= ,0nN-1 , 即 为 主 值 序列。,返回,2.移位,线性移位：序列沿坐标轴的平移 . 圆周移位：将有限长序列 x(n)以长度N为 周期, 延拓为周期序列, 并加以线性移位后, 再取它的主值区间上的序列值, m 点 圆 周 移 位 记 作: 其 中(.)N 表 示 N 点 周 期 延 拓.,(1)有 限 长 序 列 圆 周 移 位 的 实 现 步 骤,从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出，当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本，而且好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来。因

14、此取名“循环移位”。 显然，循环移位不同于线性移位,循环移位等同于圆周位移 由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主 值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同 值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列 一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆 上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时， 看到就是周期序列 : 。,(2)例子1,2,1,3,1,0.5,(1)周期延拓：N=5时,n,x(n),2,1,3,1,x(n),0.5,2,1,3,1,0.5,1,1,2,0.5,n,(2)周期延拓：N=6 时，补零加长,2,1,3,1,x(n),0.5,2,1,3,1,0.5,1,

15、1,2,3,n,3,2,1,3,1,0.5,n,x(n),(3)M=1时，左移(取主值),1,3,1,x(n),0.5,2,(4)M=-2时，右移(取主值),2,1,3,1,n,x(n),0.5,n,返回,3.卷 积,卷积在此我们主要介绍： (1)线性卷积 (2)圆周卷积 (3)圆周卷积与线性卷积的性质对比,(1)线性卷积,线 性 卷 积 定 义：有 限 长 序 列 x1(n),0nN1-1; x2(n), 0nN2-1 则 线 性 卷 积 为,注意:线 性 卷 积 结 果 长 度 变 为 N1+N2-1 .,(2)圆周卷积,令 则圆 周 卷 积 结 果 长 度 不 变, 为 N.,圆 周 卷 积 的 实 现 步 骤,例 线性卷积与圆周卷积步骤比较,2,3,1,x(n),5,4,n,0,N1=5,2,1,3,h(n),n,0,N2=3,得到线性卷积结果的示意图,14,26,5,n,y(n),