数字信号处理第2章14离散时间信号和离散时间系统

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1、第二章 离散时间信号和离散时间系统,The Analysis of the Discrete Time Signal & System,本章习题（第3版课本P87）,2.1, 2.3(2), 2.4, 2.5, 2.7(1)(3)(4) 2.13, 2.14(9)(10), 2.15, 2.19, 2.21(3)(5) 2.23(4), 2.29(2), 2.31, 2.33, 2.35 选做：2.41,内容提要,离散时间信号和离散时间系统的基本概念 序列的表示法和基本类型 用卷积和表示的线性非移变系统 讨论系统的稳定性和因果性问题 线性常系数差分方程 离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应

2、 模拟信号的离散化 讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字序列)的频谱之间的关系 介绍了离散时间信号的取样、抽取和内插等基本概念 讨论Z变换的定义和收敛域、逆 Z变换和Z变换的定理和性质。,2.1 概述,本课程研究的对象是离散信号的分析和处理。 信号：定义为一个载有信息的函数，一般表示为一个或多个自变量的函数。 信号通常分为两大类；连续时间信号和离散时间信号。 如果信号在 整个连续时间集合上都是有定义的，那么这种信号被称为连续时间信号。 定义在离散时间点上的信号称为离散时间信号。,系统的作用是把信号变换成某种更合乎要求的形式。 输入和输出都是连续时间信号的系统被称为连续时间系统； 输入和

3、输出都是离散时间信号 的系统被称为离散时间系统； 输入和输出都是模拟信号的系统被称为模拟系统； 输入和输出 都是数字信号的系统被称为数字系统。,2. 2 离散时间信号数字序列,在离散时间系统中，信号要用 离散时间的数字序列来表示。,（2）图形表示：,（1）数学表示 如果一个序列x的第n个数字表示为，则全部信号序列表示为： （其中n为整数，对于n的非整数点，没有定义。） 注意： 有的书上也表示为Xn，注意n的取值范围。 取样信号和数字信号的区别。,1.离散时间信号的表示,（1）反转： （2）移位：,其中n，为整数（int）。,2.自变量n的变换,说明： 是一个确定的物理量，而 是一种 数学抽象

4、,(1)单位取样序列(离散冲激) （Unit-sampling sequence）,3.常见序列,(2)单位阶跃序列 （Unit-step sequence）,说明：,和,和,（3）矩形序列（Rectangle sequence）,在（0,N-1）区间的N个值为1，其它整数点为0；,(4)实指数序列（Real exponential sequence）,当n0，x(n)0时，上式可表示为,图2. 5表示0a1时，anu(n)的图形,(5)复指数序列（Complex exponential sequence）,这里为数字域频率，单位为弧度。当a0时，上式可表示成,式(211)还可写成,(6)正弦

5、型序列（sine sequence）,式中，A为幅度，为数字域频率，为初相， 的单位为弧度。,比较：,其中,是模拟域频率，单位rad/s；,，T为采样周期。,这一特点与模拟正弦信号 截然不同， 越大， 变化越快，其原因是t连续取值，而n只取int。,当 时， 变化最慢(不变化)；当 时， 变化最快。故在DSP中，在主值区间上，将 附近称为数字低频；而将 附近称为数字高频。,在数字域考虑问题时，取数字频率的主值区间： or ， 用于离散时间信号和系统的FT； 用于DFT。,即：正弦序列和复指数序列对 变化以为 周期。,几点说明：,思考：右图所示波形表示什么类型的滤波器？,现在讨论正弦序列的周期性

6、。设,根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列，其周期为,（其中N，k为整数）,(1)当 为整数时，正弦序列为周期序列，且最小周期,(2)当 为有理数时，正弦序列为周期序列，且周期大于 , 如,(3)当 为无理数时，则任何整数k都不能使N为整数，这时正弦序列不是周期序列。,如果对所有n存在一个最小整数N，满足,则称x(n)为周期序列，记为,，最小周期为N。,4.周期序列（Periodic sequence）,5.序列的能量(Energy of sequence ),6.序列的运算,序列的和 序列的积 与数a相乘 序列平移,对于两个序列x(n)和y(n)，有,7.序列的加权表示,由于任意序

7、列皆可以表示成各延迟单位取样序列的幅度加权和，因此，讨论系统的特性时只需讨论系统在单位取样序列作用下的响应即可。,2.3 离散时间系统（Discrete time system）,1. 线性非移变系统（Linear shift-invariant systems） 系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T表示，即y(n)=Tx(n)。,满足叠加原理的系统称为线性系统。设y1(n)和y2(n)分别是系统对输入x1(n)和x2(n)的响应，即,若满足,则此系统是线性系统。,例2.1 y(n)Tx(n)=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。,计算Tax1(n)

8、+bx2(n)=5ax1(n)+bx2(n)+3， 而ay1(n)+by2(n)5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b),(1)线性系统（Linear System）,若系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关，则称该系统为非移变系统。即如果输入x(n)产生的输出为y(n)，则输入x(n-k)产生的输出为y(n-k)(k为任意整数)。用数学式表示为：若Tx(n)=y(n)，则Tx(n-k)=y(n-k)。,在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。,例2.2 证明y(n)Tx(n)nx(n)不是非移变系统。,计算Tx(n-k)=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x

9、(n-k)。,(2)非移变系统（Shift-invariant System）,一个既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系。,单位取样响应或单位冲激响应：,设x(n)是线性非移变系统的输入，y(n)是对应的输出。 当输入为(n)时，则输出,(3)线性非移变系统,即：对线性非移变系统，输入 和输出 满足卷积关系。,通常把下式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：,离散卷积满足以下运算规律： (1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,离散卷积的计算,计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑

10、变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。,图2.13为：,与,的线性卷积。,计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。,例23 已知x(n)和h(n)分别为：,和,试求x(n)和h(n)的线性卷积。,解 参看图2. 15，分段考虑如下：,(1)对于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10时：,综合以上结果，y(n)可归纳如

11、下：,卷积结果y(n)如图2. 16所示,稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|M(M为正常数)，有|y(n)|+，则该系统被称为稳定系统。,一个线性非移变系统稳定的充分和必要条件是其单位取样响应h(n)绝对可和，即,2.系统的稳定性和因果性 (Stability & Causality of System),(1)稳定系统(Stable System ),例如,，设,，则有,，所以系统稳定。,充要条件的证明,a.充分性,设,成立，并设x(n)为一个有界输入序列，即,，则,b.必要性,假设系统的单位取样响应不绝对可和，即：,定义一个有界的输入,式

12、中 是h(n)的复共轭,，所以y(0)不是有界的。,因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。即：系统的输出值不取决于输入的将来值，只与的现在值及过去值等有关，与将来值无关。,一个线性非移变系统为因果系统的充分必要条件是,(2)因果系统(Causal System ),例,是因果系统；,是非因果系统。,结论：系统的“稳定性”和“因果性”与系统的输入x(n)无关，而取决于系统本身的结构 h(n)。,例2. 5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为,讨论其因果性和稳定性。,解 (1)因果性,(2)稳定性,因为在n0时，h(n)0，故该系统为非因果系统,3.线性常系数差分方程(Linear

13、Constant-coefficient Difference Equations ),(1)函数序列的差分描述,一个函数序列的一阶向后差分表示为：,二阶向后差分表示为：,引入单位延迟算子D，即Dy(n)=y(n-1)。,二阶向后差分可表示为：,类似地，k阶差分表示为：,线性常系数差分方程的一般形式为：,将上面方程稍加变换后得：,该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。,(2)线性常系数差分方程,线性非移变离散系统，输入和输出满足上述方程； 上述方程描述的系统不一

14、定是因果的，假定（除非另作说明）在一般情况下，上述方程描述一个因果系统。,FIR：Finite Impulse Response(有限冲激响应)； IIR：Infinite Impulse Response(无限冲激响应)；,(3)FIR系统和IIR系统,数字系统的表示方法：差分方程、框图或流图、系统函数H(Z),2.4 离散时间信号和系统的频域描述,1. 离散时间信号的傅里叶变换,而f(j)的傅里叶反变换定义为：,连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为：,类似地，可以把离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为,X(ej)的傅里叶反变换定义为,在物理意义上，X(ej)表示序列x(n)的频谱，为数

15、字域频率。 X(ej)一般为复数，可用它的实部和虚部表示为,或用幅度和相位表示为,例2.9 求下列信号的傅里叶变换,解,离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点：,(1)X(ej)是以2为周期的的连续函数。,(2)当x(n)为实序列时，X(ej)的幅值| X(ej) |在02区间内是偶对称函数，相位argX(ej)是奇对称函数。,值得注意的是，式(2. 34a)中右边的级数并不总是收敛的，或者说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。,只有当 序列x(n)绝对可和，即,时，式(2. 34a)中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。,(1) 序列的傅里叶变换的线性,设,则,(2

16、) 序列的移位,设,则,(3) 序列的调制,设,则,2.离散时间信号的傅里叶变换的性质,(4) 序列的折叠,设,则,(5) 序列乘以n,设,则,(6) 序列的复共轭,设,则,(7) 序列的卷积,设,则,(8) 序列相乘,设,则,(9) 序列的傅里叶变换的对称性,首先定义两个对称序列： 共轭对称序列xe(n)，定义为xe(n)=xe*(-n)；共轭反对称序列xo(n)定义为xo(n)=-xo*(-n)，此处上标*表示复共轭。,其中,共轭对称实序列称为偶序列，而共轭反对称实序列称为奇序列。,序列的傅里叶变换X(ej)可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和，即,其中,设复序列x(n)的傅里叶变换为X(ej)，x(n)的实部Rex(n)和虚部jImx(n)的傅里叶变换分别为,序列x(n)的共轭对称分量xe(n)和共轭反对称分量xo(n)的傅里