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1、目的：进一步了解单调函数的性质，熟悉有界变差函数的定义，掌握其性质。 重点与难点：单调函数的性质，有界变差函数的定义及其性质。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,基本内容： 一单调函数可导性的推论 问题1：如果 fn 是单调函数序列，且 ，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数， fn 的导数与 f 的导数有什么关系？ 等式 是否成立？,第25讲 有界变差函数,(1) Fubini定理 问题2：跳跃函数的导数是什么？,推论1(Fubini) 设 是 上的单调增加有限函数序列，且 在 上处处收敛到有限函数 f ，则 。,证明：不妨设 ，否则可令 ，对 讨论就行了。记 ，
2、则 都是单调增加函数，故去掉一个零测集 E 后， 都存在。,第25讲 有界变差函数,因 及 单调增加，故其导数均非负，从而当 时， 。 由此得，级数 几乎处处收敛。往证 。,第25讲 有界变差函数,由于 ，对任意自然数 k，可取 ，使得 ， 但 也是单调增加函数，且 ，所以,第25讲 有界变差函数,这说明 也是由单调增加函数列 构成的收敛级数，将上面关于 的结论用到 上，得,第25讲 有界变差函数,进而，级数的通项趋于0，即 ， 也即 。 证毕。,第25讲 有界变差函数,证明：设 是 上的单调增加函数，注意对任意 ， ， 由推论1立得证明。,推论2 若 是 上跳跃函数，则 。,第25讲 有界变
3、差函数,第25讲 有界变差函数,二单调函数导数的可积性 问题3：从跳跃函数的导数几乎处处为零可以看出，单调函数的导数未必满足Newton-Leibniz公式，考虑更弱的问题：单调函数的导数是否R-可积？是否L-可积？其导函数的积分与该函数有没有什么关系？,定理5 设 f 是 上的单调增加有限函数，那么 是 上的Lebesgue可积函数，且 。,第25讲 有界变差函数,证明：将 f 扩充到 上，对任意 ，令 ，并令 ， 它是Riemann可积函数，而且 。,第25讲 有界变差函数,注意到,第25讲 有界变差函数,由Fatou引理得,证毕。,第25讲 有界变差函数,应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹
4、公式的差别，此处严格不等式样可能成立的，例如，若 ，则 。于是 ，但 ， ，故 ，所以 。,第25讲 有界变差函数,另外，还应注意到，由定理4， 上的单调函数 f 几乎处处有有限导数，因此定理5中导数 不存在的点 x 处可规定 为任意值。这就是说，在一个零测集上可以任意改变函数值不会对 的积分产生影响。,第25讲 有界变差函数,从 我们还看到另一个事实，一个非常值的函数可以有几乎处处等于0的导数，这样的函数称为奇异函数，即下面的 定义6 设 f 是 上的有限函数，若在 上 ，且 f 不恒为常数，则称 f 为 上的奇异函数。,第25讲 有界变差函数,三有界变差函数的定义 问题4：a,b上单调函数
5、除了跳跃度总和不超过 ，其任一分划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限？,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,前面已经看到，单调函数的导数虽然可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹公式，或者说，单调函数不能通过其导数的积分还原。那么，何种函数能满足牛顿一莱尼兹公式呢 ( 当然，这里是相对于Lebesgue积分而言 )？这正是下面要讨论的问题。,定义7 设 是 上的有限函数，对 的任一分划 ， 记 称 为 f 关于分划 的变差。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,若存在常数 M，使对一切分划 ，都有 ，则称 为 上的有界变差函数。令 ， 其中 取遍 的所有分划，称 为 f
6、在 上的总变差。,由定义7不难看出， 上有限单调函 数 f 都是有界变差函数，且 。,第25讲 有界变差函数,四. 有界变差函数的性质 性质1 若 f 是 上的有界变差函数，则 f 必为有界函数。,第25讲 有界变差函数,证明：若不然，则存在 。使 ，由 f 是有界变差函数知 。对任意 n，作 的分划 ，则,第25讲 有界变差函数,由 ，得 。 这与 矛盾，故必为有界函数，证毕。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,性质2 若 都是 上的有界变差函数，则对任意常数 也是 上的有界变差函数，且 。,证明：设 为 的任一分划，则,第25讲 有界变差函数,所以 ，证毕。,证明：由性质1知
7、存在 M，使得 ， 设 为 的任一分划：,性质3 设 是 上的有界变差函数，则 也是有界变差函数。,第25讲 有界变差函数,故 ，证毕。,第25讲 有界变差函数,则,证明：若 f 不为常数，则存在 使得 或 ，作 的分划 ，则 ，这与 矛盾，故 f 必为常数，证毕。,性质4 若 f 是 上的有界变差函数，且 ，则 f 是常数。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,性质5 设 f 是 上的有界变差函数， ，则 ， 特别地，也 f 是 上的有界变差函数。,第25讲 有界变差函数,证明：任取 的一个分划 ， 对应到 的一个分划 ，于是 ，进而 ，证毕。,第25讲 有界变差函数,性质6 设
8、 f 是 上的有界变差函数，c 是 内任一数，则 。,证明：由全变差定义，对任意 ，可以找到分划 及分划 ，使得 ， 。,将 合并起来得 的一个分划 ，于是由 及 得 ， 由 的任意性立得 。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,反之，对任意 ，设 是 的一个分划，满足 ， 则对任意 ，存在 ， 使得 ，于是,进而 ，任由 的任意性得 ，所以 ，证毕。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,性质7 若 是 上的有界变差函数列， 是有界数列，且 处处收敛到 ，则 g 也是 上的有界变差函数，且 。,所以 ，证毕。,第25讲 有界变差函数,证明：记 ，任取 的一个分划 ，则,
