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1、方差分析（analysis of variance）,问题 为了研究三种不同教材的质量，抽取三个实验班分别使用其中一种教材，而对其他因素加以控制。经过一段时间的教学后进行测试，得到三种实验处理的数据如下： 教材A：70 74 72 68 71；平均数：71 教材B：75 80 77 68 75；平均数：75 教材C：70 72 66 72 70；平均数：70 总平均数：72 三种教材的效果有无显著差异？,方差分析,方差分析的必要性 多个样本的均值之差的显著性检验 t 检验的误差,方差分析的目的,方差分析的基本功能就在于它能对多组平均数差异的显著性进行检验，而且可以避免多次逐对 t 检验所造成的
2、错误概率的累积。,方差分析中的几个概念,因素：实验中的自变量称为因素（factor）。 只有一个自变量的实验称为单因素实验，用单因素方差分析（One-Way ANOVA）。 有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验，用多因素方差分析。 水平：某一个因素的不同情况称为因素的水平（level）。 包括量差或质别两类情况。 处理（treatment）：按各个水平条件进行的重复实验称为各种处理。,方差分析的逻辑,方差分析的逻辑,组间差异（between-groups variance） 组内差异（ within-groups variance ） 组间差异对组内差异的比值越大，则各组平均数的差异就越
3、明显。通过对组间差异与组内差异比值的分析，来推断几个相应平均数差异的显著性。,方差分析的前提,独立性 正态性 方差齐性,方差分析的数学模型,可以解释的和不能解释的 General Linear Model,单因素完全随机设计的方差分析,为了检验某一个因素多种不同水平间的差异的显著性，将从同一个总体中随机抽取的被试，再随机地分入各实验组，各实验组随机接受不同的实验处理以后，用方差分析法对这多个独立样本平均数差异的显著性进行检验。 Simple randomized participants design,单因素方差分析(1),计算（离差）平方和 组间平方和： 组内平方和： 总平方和：,计算,单因
4、素方差分析(2),计算自由度 组间自由度：K-1 组内自由度：N-K 总自由度：N-1 本例中： K-1=3-1=2 N-K=15-3=12,单因素方差分析(3),计算均方差 组间方差：MSA=SSA/(K-1) 组内方差：MSE=SSE/(N-K) 计算 F 值：MSA/MSE,计算,计算均方差 组间方差： MSA=SSE/(K-1)=70/2=35 组内方差：MSE=SSE/(N-K)=122/12=10.17 计算 F 值：MSA/MSE=35/10.17=3.44 查表： F(0.05, 2, 12)=3.88,方差分析表,- 差异来源 平方和 自由度 方差 F值 Source SS
5、df MS - 组间差异 SSA dfA MSA MSA/MSE 组内差异 SSE dfE MSE 总差异 SST dft -,方差分析表,- 差异来源 平方和 自由度 方差 F值 - 组间差异 70 2 35 3.44 组内差异 122 12 10.17 总差异 192 14 -,完全随机设计的逐对差异检验（一） multiple comparison of the means,t 检验（LSD检验） 比较：,完全随机设计的逐对差异检验（二）,q 检验（HSD检验）,q值表,三个条件： 组内方差的自由度 显著性水平 等级数 将要比较的平均数从小到大排序，并分别赋予等级R。 求两两逐对比较的平
6、均数的比较等级 r （等级差+1），r 就是等级数。,多组方差的齐性检验,哈特莱（Hartley）最大 F 值检验法,Fmax值表,三个条件： 方差的组数K 自由度（最大容量的样本n-1） 显著性水平,双因素方差分析 (two-factor ANOVA),两个因素的情况下，因素A有a个水平，因素B有b个水平，总共将有ab个处理。通过双因素方差分析，可以推断这两个因素对平均数有无显著影响(main effect)，以及两者之间有无交互作用(interaction)。,交互作用,教材教法因素是否造成显著差异？,交互作用图解,无交互作用双因素方差分析,（1）提出假设： H0：A因素的各种水平之间无显
7、著差异，B因素的各种水平之间亦无显著差异； H1：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异。 （2）进行离差平方和的分解：SST = SSA + SSB + SSE （3）计算自由度 组内自由度：(a 1) (b 1) = N a b + 1 A因素自由度：a 1 B因素自由度：b 1 （4）计算均方差 MSA = SSA / (a 1) MSB = SSB / (b 1) MSE = SSE / (a 1) (b 1) （5）计算F值 FA = MSA / MSE FB= MSB / MSE （6）做出统计决断,有交互作用双因素方差分析,（1）提出假设： H0：A因素的各种水平之间无显著差异，
8、B因素的各种水平之间亦无显著差异，两因素间无交互作用； H1：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异，或两因素间有交互作用。 （2）进行离差平方和的分解： SST = SSA + SSB + SSAB + SSE （3）计算自由度 组内自由度：N ab A因素自由度：a 1 B因素自由度：b 1 交互作用自由度(a 1) (b 1) （4）计算均方差 MSAB= SSAB /(a 1) (b 1) （5）计算F值 FAB = MSAB / MSE （6）做出统计决断,双因素方差分析,计算平方和（一）,双因素方差分析,计算平方和（二） SSAB= SSTr SSA SSB,双因素方差分析,计算自
9、由度 总自由度：dft = N-1 组间自由度：dfb=k-1 组内自由度：dfw=N-k A因素自由度：dfA=A-1 B因素自由度：dfB=B-1 AB自由度：dfA*B= dfb - dfA - dfB =(A-1)(B-1),双因素方差分析,计算均方差 A因素方差：MSA=SSA/(A-1) B因素方差：MSB=SSB/(B-1) AB因素方差：MSA*B=SSA*B/ dfA*B 组内方差：MSE=SSE/(N-k),双因素方差分析,计算F值： FA= MSA/MSE FB= MSB/MSE FA*B= MSA*B /MSE,例题,例题,方差分析表,随机区组设计的方差分析,用方差分析
10、法对多个相关样本平均数差异所进行的显著性检验，称之为随机区组设计的方差分析。 randomized blocks design,相关样本的人数分配,一个被试作为一个区组； 每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍； 区组内以一个团体为一个基本单元。,计算,总平方和=组间平方和+区组平方和+误差平方和,例题,为了比较四种中学语文实验教材的教学效果，按随机区组实验设计原则，将中学分为重点中学、普通中学和薄弱中学三个区组，并分别在每个区组中随机地抽取4所学校，它们分别被随机地指派一种教材。经过一年教学后通过统一考试得到各校平均分。问四种教材的教学效果有无显著差异？,教学效果表,方差分析表,- 差异来源 平方和 自由度 方差 F值 - 组间 SSA dfA MSA MSA/MSE 区组 SSR dfR MSR MSR/MSE 误差 SSE dfE MSE 总差异 SST dfT -,方差分析表,- 差异来源 平方和 自由度 方差 F值 - 组间 1883.56 3 627.85 55.91* 区组 44.12 2 21.06 1.88 误差 67.38 6 11.23 总差异 1993.06 11 -,随机区组设计的逐对差异检验,Newman-Keul的 q 检验法（或称 N-K 法）,
