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1、1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半证明：利用向量，简单明了设H,G,O,分别为ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD（1）=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD=向量OA+向量OB+向量OC；而向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）（2）=1/3向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.向量OG=1/3向量OH，O、G、H三点共线且OG=1
2、/3OH。2、九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。证明：如右图所示，ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。连结HL并延长至L，使LL=HL；做H关于BC的对称点D。显然，BHC=FHE=180-A，所以BDC=BHC=180-A，从而A，B，D，C四点共圆。又因为BC和HL互相平分于L，所以四边形BLCH为平行四边形。故BLC=BHC=180-A，从而A，B，L，C四点共圆。综上，A，B，C，D，
3、L五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D，L，F，N，E，M九点共圆。此圆即ABC的外接圆O。接下来做位似变换，做法是所有的点（O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L变到了L（因为HL=2HL），D变到了D（因为D是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在O上的九个点变成了在V上的九个点，且V的半径是O的一半。这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。3
4、、费尔马点：已知P为锐角ABC内一点，当APBBPCCPA120时，PAPBPC的值最小，这个点P称为ABC的费尔马点。证明：如图，以ABC三边为边向外作等边ABD、BCE、ACF，连接CD、BF、AE交于点O，试证：O是费马点。证明：在ACD、ABF中，AD=AB,DAC=BAF,AC=AFACDABF(SAS)ADC=ABFA、B、O、D四点共圆。AOB=120。同理可得，AOB=AOC=BOC=120。过点A、B、C作OA、OB、OC的垂线交于三点R、S、T，易知RST是正三角形。在ABC内作异于O一点G，作RS、ST、RT的垂线GX、GY、GZ，连接GA、GB、GC。易用面积法得：OA
5、+OB+OC=GX+GY+GZ。点到线之间，垂线段最短，OA+OB+OC=GX+GY+GZGA+GB+GC点O是费马点。4、塞瓦（Ceva）定理：在ABC中，过ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则；其逆亦真证明：同理以上三式相乘，得5、密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。证明：我们可以反过来思考这个问题，设M是ABC外接圆上任意一点，D、E、F分别是AB、BC、CA直线上的点，如果使得D、B、M、E
6、四点共圆，C、F、M、E四点共圆，A、F、M、D四点共圆，那么D、E、F三点必然共线。 证明起来也很简单。只需要证明DEB=CEF即可。A、B、M、C四点共圆DBM =FCMA、F、M、D四点共圆BDM =CFM即MBDMCF，BMD =CMF；D、B、M、E四点共圆DEB=BMDC、F、M、E四点共圆CEF =CMFDEB=CEF，即D、E、F三点共线。6、葛尔刚（Gergonne）点:ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。证明：AF=AE,BF=BD,DC=DE（切线长定理）(AF/BF)(BD/CD)(CE/AE)=1AD、
7、BE、CF三线共点（赛瓦定理的逆定理）7、西摩松（Simson）线：已知P为ABC外接圆周上任意一点，PDBC，PEACPFAB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。证明：已知：ABC外接圆上有一点P，过P向三边所在直线作垂线，垂足分别是X、Y、Z，求证：X、Y、Z三点共线。证明：如图，连接PB、PCAYP=BXP=90A、Y、P、X四点共圆，AYX=APX同理C、Z、Y、P四点也共圆ZYC=CPZ在AXP和CZP中BXP=90=CZP，PAX=PCZAPX=ZPC，AYX=ZYCAYX+XYC=180ZYC+XYC=180X、Y、Z三点在同一条直线上9、笛沙格（De
8、sargues）定理：已知在ABC与ABC中，AA、BB、CC三线相交于点O，BC与BC、CA与CA、AB与AB分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真。10、摩莱（Morley）三角形：在已知ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则三角形DDE是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。证明：设ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3，3，3，则+=60。在ABC中，由正弦定理，得AF=csin/sin(+)。不失一般性，ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3，所以AF=（si
9、n3*sin）/sin(60-)=sin*sin(3-4sin)/1/2(3cos-sin)=2sinsin（3cos+sin）=4sinsinsin（60+）.同理,AE=4sinsinsin(60+)AF:AE=4sinsinsin(60+)：4sinsinsin(60+)=sin(60+):sin(60+)=sinAEF:sinAFEAEF=60+,AFE=60+.同理得，CED=60+FED=180-CED-(AEF-)=180-60-60+=60FED为正三角形。111、帕斯卡（Paskal）定理：已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，
10、边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线证明：面积法：设AB交DE于G，BC交EF于I，CD交AF于H连接GI，设AF交GI于H(如图1)，CD交GI于H(如图2)要证G、I、H共线，只需证AF、CD、GI交于一点现在只需证：，即证：共边定理+共角定理可得：命题得证12、托勒密（Ptolemy）定理：在圆内接四边形中，ABCDADBCACBD证明：（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE.则ABEACD所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1)由ABEACD得AD/AC=AE
11、/AB,又BAC=EAD,所以ABCAED.BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因为BE+EDBD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）13、阿波罗尼斯（Apollonius）圆一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”证明：令B为坐标原点，A的坐标为(a,0).则动点P(x,y)满足=k（为实数，且不为1）且PA=PB=整理得(k21)(x2+y2)2axa2=0当k不为1时,它的图形是圆. 当k为1时，轨迹是两点连线的中垂线.梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理.15、布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，ACBD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边证明：设PHCD,PM交AB于M.显然AP/BP=DP/CP,故AM=BMAP*sinAPM=BP*sinBPMDP*sinPDH=CP*sinPCDPH=PH,证毕
