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1、1.3 量词与量词的否定,思考： 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)x3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的xR，x3； (4)对任意一个xZ，2x+1是整数。,语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。,全称量词、全称命题定义： 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。,常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等 。,全称命题举例：,全称命题符号记法：,命题：对任意的nZ，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。,通常，将
2、含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),表示，变量x 的取值范围用M表示，那么，,解：（1）假命题；,例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2） （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。,小结：,需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立,只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可 （举反例）,（2）真命题；,（3）假命题。,练习：,1 判断下列全称命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3）,思考： 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2
3、和3整除； (3)存在一个x0R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0Z，x能被2和3整除。,语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。,存在量词、特称命题定义： 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。,常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 。,存在性命题举例：,存在性命题符号记法：,命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。,通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),表示，变量x 的取值范围用M表示，那么，,存在性命题“存在M中
4、的一个x0，使p(x0)成立 ”可用符号简记为：,读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。,解：（1）假命题； （2）假命题； （3）真命题。,例2 判断下列存在性命题的真假： （1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数。,小 结：,需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在。,只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0) 成立即可 （举例证明）,练 习：,2 判断下列特称命题的真假： （1） （2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （3）,（4）存在这样的实数它的平方等于它本身。 （5）任一个
5、实数乘以-1都等于它的相反数； （6）存在实数x，x3x2；,同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：,表述方法,思考：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定 .,这些命题和它们的否定在形式上有什么不同？,（1）所有的矩形都是平行四边形；,（2）每一个素数都是奇数；,（3）xR，x2-2x+10；,（1）p： xR，x2+2x+20； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有些函数没有反函数； （4）p：存在一个四边形，它的对角线互相 垂直且平分； （5） p：不是每一个人都会开车； （6）p：在实数范围内，有些一元二次方程无解；,探究：写出命题的否定,一般地
6、，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论: 全称命题p: 全称命题的否定是存在性命题.,一般地，对于含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论:,存在性命题,它的否定,存在性命题的否定是全称命题.,关键量词的否定,例3 写出下列全称命题的否定：,（1）p：所有人都晨练； （2）p：xR，x2x+10； （3）p：平行四边形的对边相等； （4）p： xR，x2x+10；,例4 写出下列命题的否定,（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y0. （4） 有些质数是奇数。,例5 写出下列命题的否定,（1） 若
7、x24 则x2.。 （2） 若m0,则x2+x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。,例6 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。,（1）p：若xy,则5x5y； （2）p：若x2+x2,则x2-x2； （3）p：正方形的四条边相等； （4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b0有非空实解集，则a2-4b0。,练习：写出下列命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p：对任意xZ，x2的个位数字不等于3； （4）p：任意素数都是奇数； （5）p：每个指数函数都是单调函数； （6）p：线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等；,命题的否定与否命题是完全不同的概念,1任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。 2命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。 3 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为 “若p，则q”，既否定条件又否定结论。,思考,设a、b、c均为非零实数，求证：方程 ax2+2bx+c=0， bx2+2cx+a=0， cx2+2ax+b=0中至少有一个有实数根。,
