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1、( (一一) )几何证明选讲几何证明选讲 1.如图，O是ABC外接圆的圆心，ACB54，求ABO的值 解 连结OA，因为O是圆心，所以AOB2ACB， 所以ABO (180AOB) 1 2 (1802ACB) 1 2 90ACB905436. 2.如图，已知A，B，C是圆O上的三点，BE切圆O于点B，D是CE与圆O的交点，若 BAC60，BE2，BC4，求线段CD的长 解 因为BE切圆O于点B，所以CBEBAC60. 因为BE2，BC4，由余弦定理得EC2. 3 又BE2ECED，所以DE， 2 3 3 所以CDECED2. 3 2 3 3 4 3 3 3如图，已知点C在圆O的直径AB的延长线
2、上，CD是圆O的一条切线，D为切点，点D 在AB上的射影是点E，CB3BE. 求证：(1)DB是CDE的平分线； (2)AE2EB. 证明 (1)连结AD，AB是圆O的直径， DABDBA90， DEAB，BDEDBA90， DABBDE， CD切圆O于点D， CDBDAB， BDECDB， DB是CDE的平分线 (2)由(1)可得DB是CDE的平分线， 3，即CD3DE. CD DE CB BE 设BEm(m0)，DEx(x0)，则CB3m，CD3x， 在 RtCDE中， 由勾股定理可得(3x)2x2(4m)2，则xm， 2 由切割线定理得CD2CBCA，(3m)23mCA， 2 CA6m，
3、AB3m，AE2m， 则AE2EB. 4(2018江苏海安中学质检)如图，在 RtABC中，B90，它的内切圆分别与边 BC，CA，AB相切于点D，E，F，连结AD，与内切圆相交于另一点P，连结PC，PE，PF，已 知PCPF， 求证：(1)；(2)PEBC. PF FD PD DC 证明 (1)连结DE， 则BDF是等腰直角三角形， 于是FPDFDB45， 故DPC45. 又PDCPFD，则PFDPDC， 所以. PF FD PD DC (2)由AFPADF，AEPADE， 知AFPADF，AEPADE. 于是，. EP DE AP AE AP AF FP DF 故由得， EP DE PD DC 由EPDEDC，结合得，EPDEDC， 从而EPD也是等腰三角形 于是，PEDEPDEDC，所以PEBC.
