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1、2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,1,第一章 矢量分析小结,1.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，它们都是空间坐标的连续函数。,2.标量场 中，梯度的定义为 其中 为 变化最快的方向上的单位矢量。,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,2,3.矢量场 在闭合面S的通量定义为 它是一个标量；矢量场的散度也是一个标量，定义为,4.矢量场 在闭合路径C的环流定义为 ，它是一个标量；矢量场的旋度是一个矢量，它定义为,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,3,5.矢量分析中重要的恒等式有,高斯定理,斯托克斯定理,20
2、19/6/16,中南大学信息科学与工程学院,4,6. 算符 矢量算符 在直角坐标内， 所以 是个矢量，而 是个标量， 是个矢量。因而矢量算符 符合矢量标积、矢积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，再作微分运算。 7.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研究它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,5,直角坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,其位置矢量：,空间任一点 P（x0,y0,z0):,坐标变量:,变量取值范围：,微分元：,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,6,圆柱坐标系,单
3、位方向矢量：,矢量函数：,其位置矢量：,空间任一点P(r0,0,z0),变量取值范围,微分元,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,7,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,8,球面坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,位置矢量：,变量取值范围:,微分元：,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,9,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,10,柱坐标,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,11,
4、球坐标,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,12,第二章 电磁场的基本规律 小结,1.电荷分布形态分为四种形式： 点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷,电荷体密度,电荷面密度,电荷线密度,点电荷的电荷密度,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,13,2.电流分布 体电流,流过任意曲面S 的电流为,面电流,通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,14,积分形式,微分形式,恒定电流的连续性方程,3.电流连续性方程,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,15,面密度为 的面分布电荷的电场强度,根据上述定义，真空中静止
5、 点电荷q 激发的电场为,4.电场强度,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,16,5.静电场的散度和旋度,静电场的散度（微分形式）,静电场的高斯定理（积分形式）,静电场的旋度（微分形式）,静电场的环路定理（积分形式）,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,17,6.磁感应强度,任意电流回路 C 产生的磁感应强度,电流元 产生的磁感应强度,体电流产生的磁感应强度,面电流产生的磁感应强度,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,18,7.恒定磁场的散度与旋度,恒定场的散度（微分形式）,磁通连续性原理（积分形式）,恒定磁场的旋度（微分形式）,安培环路定理（积分形式）,2
6、019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,19,极化强度与电场强度有关在线性、 各向同性的电介质中， 与电场强度成正比，即,8.电介质的极化, 电介质的电极化率,( 1 ) 极化电荷体密度,( 2 ) 极化电荷面密度,定义：电位移矢量,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,20,9. 静电场在电介质中的基本方程,及介质的本构关系,对于线性各向同性介质，,小结：静电场是有散无旋场，电介质中的基本方程为,（微分形式），,（积分形式）,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,21,10. 介质的磁化及磁化电流,（1） 磁化电流体密度,（2） 磁化电流面密度,恒定磁场是有旋无散场
7、，磁介质中的基本方程为,（积分形式）,（微分形式）,11. 恒定磁场在磁介质中的基本方程,及介质的本构关系,定义磁场强度 为：,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,22,磁化强度 和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质， 与 之间存在简单的线性关系：,磁介质中的本构关系式,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,23,12.欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 称为媒质的电导率，单位是S/m（西/米）。,13.法拉第电磁感应定律,相应的微分形式为,相应的微分形式为,(1) 回路不变，磁场随时间变化,引起回路中磁通变化的几种情况,2019/6/16,
8、中南大学信息科学与工程学院,24,( 2 ) 导体回路在恒定磁场中运动,( 3 ) 回路在时变磁场中运动,微分形式,14. 位移电流密度,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,25,15. 麦克斯韦方程组的积分形式,（全电流定律）,（法拉第电磁感应定律）,（磁通连续性方程方程）,（电介质中的高斯定律）,（电流连续性方程）,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,26,16. 麦克斯韦方程组的微分形式,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,27,17. 媒质的本构关系,各向同性、线性媒质的本构关系为,18. 电磁场的边界条件,2019/6/16,中南大学信息科学与工程
9、学院,28,19.两种理想介质分界面上的边界条件,在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS0、S0，故,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,29,20. 理想导体表面上的边界条件,理想导体表面上的边界条件 设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,30,Ex: 一段两端封闭的圆形同轴导体，长度为l内导体半径为a， 外导体半径为b。同轴导线的轴线与z轴重合，两端面分别位于 z=0和z=l处，如图所示。设导体的电导率为 = ，内外导体空 间的媒质为空气。若已知导体间的磁场强度为：,求: (1) 导体间的电场强度
10、 ； (2) 导体表面上的电流面密度 和电荷面密度 。,x,y,解：（1）,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,31,（2）,z=0,z=l,x,y,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,32,（2）,在内导体r=a,x,y,在外导体r=b,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,33,一、 静电场的基本方程和边界条件,第三章 静态电磁场及其边值问题的解 小结,2. 边界条件,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程,积分形式：,或,或,若分界面上不存在面电荷，即 ，则,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,34,由,1. 电位函数的定义,二、电位函数,面
11、电荷的电位：,点电荷的电位：,线电荷的电位：,3、电位积分表达式：体电荷的电位：,2、P、Q 两点间的电位差,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,35,4、电位方程 在均匀介质中，有标量泊松方程,在无源区域，有拉普拉斯方程,5. 静电位的边界条件,若介质分界面上无自由电荷，即,导体表面上电位的边界条件：,常数，,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,36,(1) 假定两导体上分别带电荷+q 和q ；,计算电容的方法一：,(4) 求比值 ，即得出所求电容。,(3) 由 ，求出两导体间的电位差；,(2) 计算两导体间的电场强度E；,计算电容的方法二：,(1) 假定两电极间的电
12、位差为U ；,(2) 计算两电极间的电位分布 ；,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,37,三、静电场能量,电荷系统的总能量为,导体系统的能量为,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,38,不变,四、静电力,q不变,五、恒定电场分析 1、 基本方程,恒定电场的基本方程为,微分形式：,积分形式：,恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度,线性各向同性导电媒质的本构关系,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,39,2. 恒定电场的边界条件,即,即,场矢量的折射关系,电位的边界条件,导电媒质分界面上的电荷
13、面密度,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,40,3.恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（ 区域）,本构关系,位函数,边界条件,恒定电场（电源外）,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,41,(1) 假定两电极间的电流为I ； 计算两电极间的电流密度 矢量J ； 由J = E 得到 E ; 由 ，求出两导 体间的电位差； (5) 求比值 ，即得出 所求电导。,计算电导的方法一：,计算电导的方法二：,(1) 假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布 ； (3) 由 得到E ; (4) 由 J = E 得到J ; (5) 由 ，求出两导体间 电流； (
14、6) 求比值 ，即得出所 求电导。,计算电导的方法三：,静电比拟法：,4、电导的计算方法,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,42,微分形式:,1. 基本方程,2. 边界条件,本构关系：,或,若分界面上不存在面电流，即JS0，则,积分形式:,或,六、恒定磁场,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,43,3、恒定磁场的矢量磁位,库仑规范,引入：,磁矢位的微分方程,在无源区：,磁矢位的边界条件,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,44,4. 恒定磁场的标量磁位,但在无传导电流（J0）的空间 中，则有,磁标位的微分方程,在线性、各向同性的均匀媒质中,标量磁位的边界条
15、件,和,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,45,七、电感,1. 自感,I为回路 C 中的电流， 为I所产生的磁场与回路 C 交链的磁链，,单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量,多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和,回路 C1 对回路 C2 的互感,3. 互感,回路 C2 对回路 C1 的互感为,M12 = M21,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,46,八、 恒定磁场的能量,电流为 I 的载流回路具有的磁场能量Wm,对于两个电流回路 C1 和回路C2 ，有,磁场能量密度,磁场能量密度：,磁场的总能量：,2019/6/16,中南大学信息科学
16、与工程学院,47,2、磁场力,不变,不变,九、 惟一性定理,在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,48,十、镜像法：必须保证原问题的方程不变，边界条件不变,像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。,十一、 分离变量法解决求有边界区域的场的解,思路： 套用通解，根据边界条件来定待定系数,2019/6/16,中南大学信息科学与工程学院,49,对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界， 若夹角为
