《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 检测（A） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 检测（A） （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章检测(A) (时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1 已知椭圆=1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是 3,则点 P 到另一个焦点的距离为( ) 2 25 + 2 16 A.2B.3C.5D.7 解析:设点 P 到另一个焦点的距离为 d,由椭圆定义可知 P 到两焦点的距离之和 3+d=2a=10,则 d=10- 3=7. 答案:D 2 已知抛物线 C1:y=2x2的图象与抛物线 C2的图象关于直线 y=-x 对称,则抛物线 C2的准线方程是 ( ) A.x=-B.x=
2、C.x=D.x=- 1 8 1 2 1 8 1 2 解析:抛物线 C1:y=2x2关于 y=-x 对称的抛物线 C2的解析式为-x=2(-y)2, 即 y2=- x,故 C2的准线方程为 x= . 1 2 1 8 答案:C 3 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则双曲线 C 的方程是( ) 3 2 A.=1B.=1 2 4 2 5 2 4 2 5 C.=1D.=1 2 2 2 5 2 2 2 5 解析:由曲线 C 的右焦点为 F(3,0),知 c=3. 由离心率 e= ,知,则 a=2, 3 2 = 3 2 故 b2=c2-a2=9-4=5, 因此,双曲线 C
3、 的方程为=1. 2 4 2 5 答案:B 4 已知动点 P 到两个定点 F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为 2(1),则点 P 轨迹的离心率的取值 3 范围为( ) A.B.C.D. 3 3 ,1 )( 3 3 , 3 2 ( 0, 3 3 ( 3 2 ,1 ) 解析:由题意,得 2|F1F2|=2, 3 故点 P 的轨迹是椭圆,其中 a=,c=1. 3 于是 e=.故选 C. 1 3 1 3 答案:C 5 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列,则该椭圆的离心率是( ) A.B.C.D. 5 + 1 2 5 - 1 2 2 5 1 5 解析:因为 2a,2b,2c 成等
4、比数列,所以 b2=ac. 又因为 b2=a2-c2, 所以 a2-c2-ac=0,解得 e=. 5 - 1 2 答案:B 6 抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是( ) 2 3 A.B.C.1D. 1 2 3 23 解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为 y=x,即x-y=0,故由点到直线 33 的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离 d=. | 3 - 0| 2 = 3 2 答案:B 7AB 为过椭圆=1(ab0)的中心的弦,F1为一个焦点,则ABF1的最大面积是(c 为半焦距)( ) 2 2 + 2 2 A.acB.abC
5、.bcD.b2 解析:ABF1的面积为 c|yA|,因此当|yA|最大,即|yA|=b 时,面积最大. 答案:C 8 方程 mx+ny2=0 与 mx2+ny2=1(mn0)在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 答案:A 9 如图,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A,B,交其准线于点 C,准线与对称 轴交于点 M,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ) A.y2= xB.y2=3x 3 2 C.y2= xD.y2=9x 9 2 解析:由抛物线的定义,知|BF|等于点 B 到准线的距离,由|BC|=2|BF|,得BCM=30. 又|A
6、F|=3, 从而 A,A 在抛物线上,代入抛物线方程 y2=2px, ( 2 + 3 2, 3 3 2) 解得 p= .故抛物线方程为 y2=3x. 3 2 答案:B 10 双曲线与椭圆 4x2+y2=64 有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为( ) A.y2-3x2=36B.x2-3y2=36 C.3y2-x2=36D.3x2-y2=36 解析:由 4x2+y2=64,得 =1,c2=64-16=48, 2 16 + 2 64 c=4,e=. 3 4 3 8 = 3 2 在双曲线中,c=4,e=. 3 2 3 = a=c=6,b2=48-36=12. 3 2 双曲线方程为=1,即
7、 y2-3x2=36. 2 36 2 12 答案:A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 11 双曲线=1 的两条渐近线的方程为 . 2 256 2 144 解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为 y=x. 3 4 答案:y=x 3 4 12 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的长 为 8,则 p= . 解析:抛物线的焦点为 F,设直线方程为 y=x- .由得 x2-3px+ =0. ( 2 ,0 ) 2 2= 2, = - 2, ? 2 4 设 A(x1,y1),B(x
8、2,y2),则 x1+x2=3p. 故|AB|=x1+x2+p=3p+p=8,即 p=2. 答案:2 13 在平面直角坐标系 xOy 中,已知ABC 的顶点 A(-3,0)和 C(3,0),顶点 B 在椭圆=1 上,则 2 25 + 2 16 = . + 答案: 5 3 14 在平面直角坐标系中,椭圆=1(ab0)的焦距为 2,以 O 为圆心,a 为半径作圆,过点 2 2 + 2 2 所作圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率 e= . ( 2 ,0 ) 解析:设点 M,两个切点分别为 P,Q. ( 2 ,0 ) 因为|MP|=|MQ|,MPMQ, 所以四边形 MPOQ 是正方形. 又因为 c=
9、1,所以=2a2. ( 2 1) 2 整理得 a=.故 e=. 2 1 2 = 2 2 答案: 2 2 15 设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于 . 解析:设直线 l 的方程为 y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2). 由联立,得 k2x2+2(k2-2)x+k2=0. 2= 4, = ( + 1) ? 则 x1+x2=-, 2(2- 2) 2 故=-=-1+, 1+ 2 2 2 - 2 2 2 2, 1+ 2 2 = 2 即 Q.又|FQ|
10、=2,F(1,0), (- 1 + 2 2, 2 ) =4,解得 k=1. (- 1 + 2 2 - 1 ) 2 +(2 ) 2 答案:1 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(8 分)点 A,B 分别是椭圆=1 的长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上, 2 36 + 2 20 且位于 x 轴上方,PAPF.求点 P 的坐标. 解:由已知可得点 A(-6,0),B(6,0),F(4,0). 设点 P 的坐标是(x,y), 则=(x+6,y),=(x-4,y). 由已知,得 2 36 + 2 20 = 1, ( +
11、6)( - 4) + 2 = 0, ? 解得 x= 或 x=-6. 3 2 因为 y0,所以只能取 x= ,于是 y=, 3 2 5 3 2 所以点 P 的坐标是. ( 3 2, 5 3 2) 17(8 分)已知椭圆=1(ab0),短轴顶点 B(0,b),若椭圆内接三角形 BMN 的重心是椭圆的左 2 2 + 2 2 焦点 F,求椭圆的离心率的取值范围. 解:如图,设 M(x1,y1),N(x2,y2),且已知 B(0,b),F(-c,0), 由重心公式,得 1+ 2+ 0 3 = - , 1+ 2+ 3 = 0 ? 1 + 2= - 3, 1+ 2= - . ? 则弦 MN 的中点 E 的坐
12、标为. (- 3 2, - 2) 又点 E 在椭圆内部,则b0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若 PF1PF2,试求: 2 2 + 2 2 (1)椭圆的方程; (2)PF1F2的面积. 解:(1)令 F1(-c,0),F2(c,0)(c0), 则 b2=a2-c2. 因为 PF1PF2,所以=-1. 12 即=-1,解得 c=5, 4 3 + 4 3 - 所以可设椭圆方程为=1. 2 2 + 2 2 - 25 因为点 P(3,4)在椭圆上, 所以=1,解得 a2=45 或 a2=5. 9 2 + 16 2 - 25 又因为 ac,所以 a2=5(舍去). 故所求椭圆方程为=1. 2 45
13、 + 2 20 (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6. 5 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100, 由2-得 2|PF1|PF2|=80, 所以|PF1|PF2|=20. 12 = 1 2 19(10 分)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1:=1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直 2 2 + 2 2 径,l1,l2是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1交圆 C2于 A,B 两点,l2交椭圆 C1于另一点 D. (1)求椭圆 C1的方程; (2)求ABD 面积取最大值时直线 l1的方程. 解:(1)由题意得 = 1, = 2. ? 故
14、椭圆 C1的方程为 +y2=1. 2 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1的距离 d=,则|AB|=2=2. 1 2+ 1 4 - 2 42+ 3 2+ 1 又 l2l1,故直线 l2的方程为 x+ky+k=0. 由 + + = 0, 2+ 42 = 4, ? 消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 故 x0=-.则|PD|=. 8 4 + 2 82+ 1 4 + 2 设ABD 的面积为 S, 则 S= |AB|PD|
15、=, 1 2 842+ 3 4 + 2 故 S= 32 42+ 3+ 13 42+ 3 , 32 242 + 3 13 42+ 3 = 16 13 13 当且仅当 k=时取等号. 10 2 故所求直线 l1的方程为 y=x-1. 10 2 20(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于- . 1 3 (1)求动点 P 的轨迹方程. (2)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P,使得PAB 与PMN 的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-
