《北师大版九年级数学上思维特训(二)含答案：中点四边形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版九年级数学上思维特训(二)含答案：中点四边形（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、思维特训(二) 中点四边形 中点四边形的定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 中点四边形的形状只与原四边形对角线的位置及数量关系有关 (1)若原四边形对角线不垂直也不相等，则所得中点四边形为平行四边形； (2)若原四边形对角线垂直但不相等，则所得中点四边形为矩形； (3)若原四边形对角线不垂直但相等，则所得中点四边形为菱形； (4)若原四边形对角线垂直且相等，则所得中点四边形为正方形 类型一 连接四边形各边中点得到的中点四边形 1如图 2S1，任意四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上的点，对于四 边形 EFGH 的形状，某班学生在一
2、次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的 是( ) 图 2S1 A当 E，F，G，H 是各边中点，且 ACBD 时，四边形 EFGH 为菱形 B当 E，F，G，H 是各边中点，且 ACBD 时，四边形 EFGH 为矩形 C当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 可以为平行四边形 D当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 不可能为菱形 2已知：如图 2S2，分别以 BM，CM 为边，向BMC 外作等边三角形 ABM 和 CDM，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点 (1)猜测四边形 EFGH 的形状； (2)证明你的猜想； (3)BM
3、C 形状的改变是否对上述结论有影响？ 图 2S2 3观察探究，完成证明和填空 如图 2S3，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接 E，F，G，H 得到的四边形 EFGH 叫做中点四边形 (1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形 (2)请你探究并填空： 当四边形 ABCD 变成菱形时，它的中点四边形是_； 当四边形 ABCD 变成矩形时，它的中点四边形是_； 当四边形 ABCD 变成正方形时，它的中点四边形是_ (3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的 图 2S3 类型二 连接对角线或其他线段中点得到中点四边
4、形 4如图 2S4，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点 (1)判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论； (2)当 BD，AC 满足什么条件时，四边形 EFGH 是正方形(不要求证明)? 图 2S4 5如图 2S5，E，F，G，H 分别是线段 AB，CB，CD，AD 的中点，连接 E，F，G，H，判断四边 形 EFGH 的形状，并说明理由 图 2S5 6如图 2S6，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，且 BECF，连接 AE，BF，EF，AF，G，H，M，N 分别是边 AB，AF，EF，BE 的中点 (1)猜想四边形 GHMN 的形状，并说
5、明理由； (2)若 AB4，CF2，求四边形 GHMN 的面积 图 2S6 7如图 2S7，在四边形 ABCD 中，ABCD，M，N，P，Q 分别是 AD，BC，BD，AC 的中点 (1)求证：MN 与 PQ 互相垂直平分； (2)连接 MP，MQ，NP，NQ，若 PQ6，MN10，求四边形 MPNQ 的面积和 AB 的长 图 2S7 详解详析详解详析 1D 解析 A当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 ACBD 时，存在 EFFGGHHE，故四边形 EFGH 为菱形，故 A 正确； B当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 ACBD 时，存在 EFGFGHGHE
6、90，故四边形 EFGH 为矩形，故 B 正确； C如图所示，当 E，F，G，H 不是四边形 ABCD 各边中点时，若 EHFG，EHFG，则四边形 EFGH 为平行四边形，故 C 正确； D如图所示，当 E，F，G，H 不是四边形 ABCD 各边中点时，若 EFFGGHHE，则四边形 EFGH 为菱形，故 D 错误 故选 D. 2解：(1)四边形 EFGH 是菱形 (2)证明：如图，连接 AC，BD， ABM 和CDM 是等边三角形，AMBM，CMDM，AMBCMD60， AMCBMD. 在AMC 和BMD 中， AMBM，AMCBMD，CMDM， AMCBMD，ACBD. E，F，G，H
7、分别为 AB，BC，CD，DA 的中点， EFGH AC，EHFG BD， 1 2 1 2 EFFGGHEH， 四边形 EFGH 是菱形 (3)BMC 形状的改变对上述结论没有影响 3解：(1)证明：如图，连接 BD. E，H 分别是 AB，AD 的中点， EH 是ABD 的中位线， EH BD，EHBD. 1 2 同理，得 FG BD，FGBD， 1 2 EHFG，EHFG， 四边形 EFGH 是平行四边形 (2)矩形 菱形 正方形 (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定的 4解：(1)四边形 EFGH 是平行四边形 证明：在ABC 中，E，F 分别是边 AB，B
8、C 的中点， EFAC，且 EF AC，同理有 GHAC，且 GH AC，EFGH 且 EFGH， 1 2 1 2 四边形 EFGH 是平行四边形 (2)当 ACBD 且 ACBD 时，四边形 EFGH 是正方形 5解：四边形 EFGH 为平行四边形理由如下： 连接 AC，BD，如图所示： E，F，G，H 分别是线段 AB，CB，CD，AD 的中点， HG 为DAC 的中位线，EF 为BAC 的中位线，HE 为ABD 的中位线，GF 为CBD 的中 位线，HGAC，EFAC，HEBD，GFBD，HGEF，HEGF， 四边形 EFGH 为平行四边形 6解：(1)四边形 GHMN 是正方形理由如下
9、： 正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，且 BECF， ABBC，ABEBCF90， ABEBCF(SAS)， AEBF，BAECBF. 又CBFABF90， BAEABF90， AEBF. G，H，M，N 分别是边 AB，AF，EF，BE 的中点， GNHM AE BFGHMN，GHBF，GNAE， 1 2 1 2 四边形 GHMN 是菱形，HGN90， 四边形 GHMN 是正方形 (2)BECF2，AB4，ABE90， 在 RtABE 中，AE2 ， AB2BE25 GN 2 ， 1 255 正方形 GHMN 的面积为 GN25. 7解：(1)证明：如图，连接 MP
10、，PN，NQ，QM. M，P 分别是线段 AD，BD 的中点， MP 是ABD 的中位线， MPAB 且 MP AB. 1 2 同理，NQAB 且 NQ AB.MPNQ 且 MPNQ，四边形 MPNQ 是平行四边形 1 2 P，N 分别是线段 BD，BC 的中点，NP 是BCD 的中位线，NP CD. 1 2 又ABCD，NPMP，平行四边形 MPNQ 是菱形，MN 与 PQ 互相垂直平分 (2)如图，设 MN 与 PQ 相交于点 O.由(1)知，平行四边形 MPNQ 是菱形 PQ6，MN10，四边形 MPNQ 的面积 PQMN 61030. 1 2 1 2 又由(1)知，MN 与 PQ 互相垂直平分，OP3，OM5，且 OPOM， 由勾股定理得到 MP.AB2MP2. OP2OM23434
