《（京津专用）2019高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练（四）立体几何与空间向量理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（京津专用）2019高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练（四）立体几何与空间向量理（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、( (四四) )立体几何与空间向量立体几何与空间向量 1(2018四川成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF 是正方形，ABDC，ABAD1，CD2，ACEC. 5 (1)求证：平面EBC平面EBD； (2)设M为线段EC上一点，3，求二面角MBDE的平面角的余弦值 EM EC (1)证明 由AD1，CD2，AC， 5 得AD2CD2AC2， ADC为直角三角形，且ADDC， 同理EDC为直角三角形，且EDDC. 又四边形ADEF是正方形，ADDE. 又ABDC，DAAB. 在梯形ABCD中，过点B作BHCD于点H， 故四边形ABHD是正方形 在BCH中
2、，BHCH1， BCH45，BC， 2 BDC45，DBC90，BCBD. EDAD，EDDC，ADDCD，AD，DC平面ABCD， ED平面ABCD， 又BC平面ABCD，EDBC， 又BDEDD，BD，ED平面EBD， BC平面EBD， 又BC平面EBC，平面EBC平面EBD. (2)解 由(1)可得DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0,0,0)，E(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,2,0) 令M(0，y0，z0)， 则(0，y0，z01)，(0,2，1)， EM EC 3， EM EC (0
3、,3y0,3z03)(0,2，1)， 点M的坐标为. (0， 2 3， 2 3) BC平面EBD， (1,1,0)是平面EBD的一个法向量 BC 设平面MBD的法向量为m m(x，y，z) (1,1,0)， DB DM (0， 2 3， 2 3) 则Error!即Error! 可得xyz. 令y1，得m m(1，1,1) cosm m， . BC m mBC |m m|BC | 2 3 2 6 3 由图形知二面角MBDE为锐角， 二面角MBDE的平面角的余弦值为. 6 3 2(2018安徽省合肥市第一中学模拟)底面OABC为正方形的四棱锥POABC，且PO底面 OABC，过OA的平面与侧面PB
4、C的交线为DE，且满足SPDESPBC14. (1)证明：PA平面OBD； (2)当S3S时，求二面角BOEC的余弦值 2四边形OABC2POB (1)证明 由题意知四边形OABC为正方形， OABC，又BC平面PBC，OA平面PBC， OA平面PBC， 又OA平面OAED，平面OAED平面PBCDE， DEOA，又OABC， DEBC. 由PDEPCB，且SPDESPBC14， 知E，D分别为PB，PC的中点 连接AC交OB于点F，则点F为AC的中点，连接DF. DFPA，DF平面OBD，PA平面OBD， PA平面OBD. (2)解 底面OABC为正方形， 且PO底面OABC， PO，OA，
5、OC两两垂直， 以O为坐标原点，OA，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 设OAOC2a，OP2b， 则O(0,0,0)，C(0,2a,0)，B(2a,2a,0)，F(a，a,0)， P(0,0,2b)，E(a，a，b) PO平面OABC，CF平面OABC，CFPO. 四边形OABC为正方形， CFOB， 又POOBO，PO，OB平面POB， CF平面POB，即CF平面OBE， 平面OBE的一个法向量为(a，a,0) CF 设平面OEC的一个法向量为m m(x，y，z)， 而(0,2a,0)，(a，a，b) OC OE 由Error!得Error
6、! 取za可得， m m(b,0，a)为平面OCE的一个法向量 设二面角BOEC的大小为， 由图易得为锐角， 由S3S，得POOA， 2四边形OABC2POB 6 3 . b a 6 3 故 cos ， |CF m m| |CF |m m| ab a2a2a2b2 5 5 二面角BOEC的余弦值为. 5 5 3(2018宁夏回族自治区银川一中模拟)如图，已知DEF与ABC分别是边长为 1 与 2 的 正三角形，ACDF，四边形BCDE为直角梯形，且DEBC，BCCD，点G为ABC的重心， N为AB的中点，AG平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点 (1)求证：GM平面DFN； (2)若
7、二面角MBCD的余弦值为，试求异面直线MN与CD所成角的余弦值 7 4 (1)证明 在ABC中，连接AG并延长交BC于点O，连接ON，OF. 因为点G为ABC的重心， 所以 ，且O为BC的中点 AG AO 2 3 又， AM 2 3AF 所以 ， AG AO AM AF 2 3 所以GMOF. 因为点N为AB的中点， 所以NOAC. 又ACDF， 所以NODF， 所以O，D，F，N四点共面， 又OF平面DFN，GM平面DFN， 所以GM平面DFN. (2)解 由题意知，AG平面BCDE， 因为AG平面ABC， 所以平面ABC平面BCDE， 又BCCD，平面ABC平面BCDEBC， CD平面BC
8、DE， 所以CD平面ABC. 又四边形BCDE为直角梯形，BC2，DE1， 所以OECD， 所以OE平面ABC. 因为ACDF，DEBC，ACBCC，DEDFD，AC，BC平面ABC，DE，DF平面DEF， 所以平面ABC平面DEF， 又DEF与ABC分别是边长为 1 与 2 的正三角形， 故以O为坐标原点，OC，OE，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标 系Oxyz. 设CDm， 则C(1,0,0)，D(1，m,0)，A(0，0，)，F， 3 ( 1 2，m， 3 2) B(1,0,0)，N， ( 1 2，0， 3 2) 因为， AM 2 3AF 所以M，(2,0,0)，
9、 ( 1 3， 2m 3 ，2 3 3 ) BC ， BM ( 4 3， 2m 3 ，2 3 3 ) 设平面MBC的一个法向量为n n(x，y，z)， 由Error!得Error! 令zm，得n n(0， ，m) 3 又平面BCD的法向量为v v(0,0,1) 由题意得|cosv v，n n|， |v vn n| |v v|n n| m 3m2 7 4 解得m， 21 3 又， MN ( 5 6， 2m 3 ， 3 6) CD (0，m，0) 所以|cos， | MN CD |MN CD | |MN |CD | . m m27 4 2 7 7 所以异面直线MN与CD所成角的余弦值为. 2 7
10、7 4(2018益阳统考)如图，在三棱锥PABC中，PA，AB，AC两两垂直，PAABAC，平 面平面PAB，且与棱PC，AC，BC分别交于P1，A1，B1三点 (1)过A作直线l，使得lBC，lP1A1，请写出作法并加以证明； (2)若 11 1 pA B C P ABC V V ，D为线段B1C的中点，求直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值 8 27 解 (1)作法：取BC的中点H，连接AH， 则直线AH即为要求作的直线l. 证明如下：PAAB，PAAC，且ABACA，AB，AC平面ABC， PA平面ABC. 平面平面PAB， 且平面PACP1A1，平面PAB平面PACPA， P1A1
11、PA， P1A1平面ABC， P1A1AH. 又ABAC，H为BC的中点， 则AHBC，从而直线AH即为要求作的直线l. (2) 11 1 pA B C P ABC V V ， 8 27 又平面平面PAB， . A1C AC B1C BC P1C PC 2 3 以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 设AB3， 则A1(0,1,0)，B1(2,1,0)，P(0，0,3)，P1(0,1,2)， D(1,2,0)， 则(2,0,0)，(0,1，3)，(1,1，2)， A1B1 PA1 P1D 设平面PA1B1的法向量为n n(x，y，z
12、)， 则Error!即Error! 令z1，得n n(0,3,1) 则 cos，n n. P1D 1 6 10 15 30 故直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值为. 15 30 5(2018江西省重点中学协作体联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边 形，ABAC2，AD2，PB，PBAC. 22 (1)求证：平面PAB平面PAC； (2)若PBA45，试判断棱PA上是否存在与点P，A不重合的点E，使得直线CE与平面 PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 6 9 AE AP (1)证明 因为四边形ABCD是平行四边形，AD2， 2 所以BCAD2
13、， 2 又ABAC2， 所以AB2AC2BC2，所以ACAB， 又PBAC，ABPBB，AB，PB平面PAB， 所以AC平面PAB. 又因为AC平面PAC， 所以平面PAB平面PAC. (2)解 由(1)知ACAB，AC平面PAB， 分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴， 平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， (0,2,0)， (2,2,0)， AC BC 由PBA45，PB，可得P(1,0,1)， 2 所以(1,0,1)，(1,0,1)， AP BP 假设棱PA上存在点E， 使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为， 6 9 设(01)， AE AP 则(，0，)，(，2，)， AE AP CE AE AC 设平面PBC的法向量n n(x，y，z)， 则Error!即Error! 令z1，可得xy1， 所以平面PBC的一个法向量n n (1,1,1)， 设直线CE与平面PBC所成的角为，则 sin |cosn n， | CE |2| 32222 ， |22| 3 224 6 9 解得 或 (舍) 1 2 7 4 所以在棱PA上存在点E，且 ， AE AP 1 2 使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为. 6 9
