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1、http:/多变量灰色预测模型在建筑物沉降观测中的应用羡丽娜, 张 彬 11 1辽宁工程技术大学土建学院, 123000E-mail:摘 要：本文采用多变量灰色模型对建筑物沉降观测数据进行处理，并通过工程实例将预测结果与实测数据对比，说明多变量灰预测色模型的准确性，预测精度较高，尤其适用于多点变形的整体预测预报。满足工程需要，具有重要的工程意义和经济价值。关键词：建筑物；沉降观测；多变量灰色模型；灰色预测。1. 引 言随着建筑行业的迅速发展，对房屋建筑地基进行沉降观测 ,具有极为重要的作用。通过观测 ,可了解房屋建筑的质量 ,安全可靠性 ,可鉴定地质勘察是否正确等 ,并为今后的设计提供宝贵的经
2、验 ,特别是应用沉降预测的方法 ,能及早发现工程不均匀沉降及其对建筑的影响 ,以采取措施 ,避免出现不良后果。灰色预测则可以帮助我们提前了解未来将要发生的变形。但目前采用的大多数预测模型都局限于单点4，6建模和预测。由于GM(1 ,1) 模型仅用1 个时间序列数据建模预测,当存在多个相互影响或关联的变量时,就无法反映它们之间相互影响、制约和协同发展的情况；而GM（1，n）模型又主要描述变量之间的相互关系,是一种状态模型,不用于预测。为此,可以采用MGM（1，n）模型,它是GM (1 ,1) 模型在n元多变量情况下的推广,但不是GM(1 ,1) 模型的简单组合,也不同于GM（1，n）模型只建立1
3、个n 元一阶微分方程,而是建立n个n元微分方程。通过联立求解，使所得的模型参数能满足多变量的相互关系，最终使预测的值更符合实际。因此本文通过对单变量灰色模型的扩展，导出多变量灰色预测模型，应用多点预测模型进行沉降预测，同时结合典型的工程实例做了验证，取得了令人满意的结论。2. 多变量灰色模型MGM（1，n）的建模及预测2.1 建立模型建模时首先将原始观测数据序列xi(0)(k) (k=1,2,L,m;i=1,2L,n),（n为建筑物沉降观测点的个数，m为相应的观测周期）进行累加生成处理，其一次累加生成序列为： xi(1)(k)=xi(0)(j), 式中 ：k=1,2,L,m;i=1,2,L,n
4、。j=11,5k考虑个点相互关联和相互影响,对此生成序列建立元一阶常微分方程组 ：- 1 -http:/dx1()=a11x1(1)+a12x2(1)+L+a1nxn(1)+b1dtdx2(1)=a21x1(1)+a22x2(1)+L+a2nxn(1)+b2 （1） dt1Mdx(1)n=a(1)1+L+a(1)dtn1x1+an2x()2nnxn+bndX(1)写成矩阵形式： dt=AX(1)+B （2）a12La1nx(1)a11a1(b1t)式中：A=a2122La2nbx(1)(tLL， B=2， X(1)(t)=2)an1aMbM （3）n2Lannnx(1)n(t)由积分生成变换原
5、理 , 对（2）式两边左乘eAt得 ：eAtdX(1)AX(1)=eAtBdt在区间0,t上积分 ,整理后有 ：X(1)t=eAt(X(1)(0)+A1B)A1B 式(4)即为生成序列模型的一般形式。2.2 求解模型参数A和B的辨识值A和B通过对式(4)离散化 , 得时间相应函数为：X(1)(k)=eA(k1)(X(1)(1)+A1B)A1B式中： eA(k1)=I+Ai(k1)ii=1i! （6）并由最小二乘法得到估值，H=(LTL)1LTY （7）1)(2)(1)(2)L1)(2)1式中： L=(1)1)(1)(3)(3)L(3)1LL1)(m)(1)(m)L(1)(m)1- 2 - （4
6、） （5）http:/11ax(0)(2)x(0)(2)Lx(0)(2)a120)0)0)(x(3)x(3)Lx(3)=Y= HLL1na(0)(0)(0)x(m)x(m)Lx(m)b1其中：i(1)21Lan1a22Lan2a LL2nLannaLbb2n1(1)(1)xk+x ()(k1)ii (i=1,2,L,n;k=2,3,L,m) （8）2和B阵中即可得到A和B的辨识值A： 从式（6）H(k)=11aa21A=n1ab12La1na12n22Laa B=b2 （9） LLMn2Lannban2.3 预测模型将式(5) X(1)1B1B (1)(1)+A)A(k)=eA(k1)(X作累
7、减还原有；X当 km时，X(0)(k)为(k)为模拟值；k=m时，X2.4 模型的平均拟合精度2=式中：残差vi(k)=xi(0)Vi=1nTiVi（11）Tnmi(0)(k)； Vi=(k)xvi(1),vi(2),L,vi(m)(i=1,2,L,n;k=1,2,L,m)3. 计算步骤（1）写出原始序列X(0)；（2）求一次累加生成序列X(1)；（3）按公式（8）计算一次累加均值序列(1)；（4）按式（7）建立数据矩阵L及数据列阵Y；、B； （5）由步骤（4）及公式（9）进行矩阵运算求得模型参数A(1)，按式（10）累减还原预测模型并计算X(0)； （7）按式（5）建立模型，计算和预测X（8
8、）计算残差向量Vi和精度评定。- 3 -http:/4. 预测建筑物基础沉降的工程实例某公司办公楼为十层框架结构，建筑面积为7230m，基础采用振冲碎石桩加固，因该地区缺乏采用振冲碎石桩加固经验，所以本工程进行了严格的沉降监测，并根据具体情况设置了4个观测点（即变量个数n=4）对其沉降累计值进行建模并预测。观测资料以两周为一周期，采用8个周期的累计沉降值序列。其中前6个周期用来建模，后两个周期用来检验预测值的准确性。 2观测点初始观测序列为： X(0)=56558976121310111718151419211716232720192431232227322423 555613151211(1
9、)25282222其一次累加生成序列为：X=424637366167545284947471计算一次累加均值序列可得出矩阵L和Y：919L=33.551.572.510.521.53756.580.58.51729.545.564816.5294461.5178911213101 Y=1718151192117232720161114 1619 2.5333 -0.5333 -3.7333 26.4000 0.5333 1.4667 0.2667 -1.60001TT根据H=(LL)LY得：H=-6.0000 -4.0000 -2.0000 -16.0000 2.8000 3.2000 6.4
10、000 -12.4000 8.2000 6.8000 3.6000 20.4000- 4 -http:/2.5333 0.5333 -6.0000 =-0.5333 1.4667-4.0000由此得模型参数： A-3.7333 0.2667-2.000026.4000-1.6000 -16.00008.2000 6.8000 =B3.600020.40002.80003.2000 6.4000-12.4000 6.00005.00005.00005.000014.0638 15.3836 12.6630 12.0224 25.5713 28.9376 22.7462 22.0838 41.47
11、37 46.1898 36.6562 35.8490 (1)=计算一次累加序列预测值： X61.2892 67.5635 54.1226 52.2453 93.6078 73.8091 70.6909 83.1445 107.6200 123.9700 96.070092.3200136.6100 158.1700 122.2700 117.7300(1)，求得多点变形的拟和值及预测值X(0)，并计算残差如表4-1。 还原X表4-1 多点变形的拟和值及预测值序号多点模型的拟和及预测序列X(0) X15.0000 9.0638 11.5075 15.9024 19.8155 21.8553 24
12、.4755 28.9900 32.9300 35.0100(0)（mm）残差序列Vi（mm）(k)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10(0) X26.0000 9.3836 13.5540 17.2522 21.3737 26.0443 30.3622 33.2000 38.4600 43.25002(0) X35.0000 7.6630 10.0832 13.9100 17.4664 19.6865 22.2609 25.2000 29.8100 32.0700(0) X45.0000 7.0224 10.061413.765216.396318.445621.629124.410028
13、.080030.2100V10.0000 -1.0638 0.4925 1.0976 -0.8155 1.1447 -0.4755 -1.9900V20.0000 -0.3836 -0.5540 0.7478 -0.3737 0.9557 0.6378 -1.2000V30.0000 -0.6630 -0.0832 1.0900 -0.4664 0.3135 0.7391 -1.2000V40.0000-1.02240.9386 0.2348 -0.39630.5544 0.3709 -1.4100计算模型的拟和精度=0.46，通过第7、8个周期的预测值与实测值进行对比说明，所选的多变量模型预测的沉降值与实测值十分接近，预测精度较高，故该方法可用于建筑物沉降预测。且本实例预测了在未来两个周期第9、10周期将要发生的沉降值（见表第9行和第10行。- 5 -http:/5. 结论（1） 由工程实例可看出，多变量灰色预测模型其建模方法简单，同时该模型削弱了观测误差的影响
