《数学建模论文两种随机存贮管理模型的建立和求解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模论文两种随机存贮管理模型的建立和求解（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、两种随机存贮管理模型的建立和求解 摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为个,使模型更加清晰、求解方便。类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。讨论了销售速率具有随机
2、性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。最后指出了模型的优缺点。 0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。问题1 某商场销售的某种商品。市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为；每次进货的订货费为常数与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为，且；允许商
3、品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为；每次订货，设货物在天后到达，交货时间是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为，每次到货后使这种商品的存贮量补充到固定值为止，且；在销售过程中每当存贮量降到时即开始订货。 请你给出求使总损失费用达到最低的订货点（最优订货点）的数学模型。问题2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点。问题3 问题1是只有一种商品需要订货的情形。实际上常遇到在库存容量有限的情况下，有多种商品需要同时订货的情形，这时需考虑充分利用存贮体积的问题。设有种商品需要订货，它们每次一同从一个供应站订货，
4、每次进货的订货费为常数与商品的数量和品种无关；订购的货物同时到达，到货天数如问题1所述是随机的。这种商品的销售速率分别为（袋或盒/天），每袋（或盒）的体积分别为。使用自己的仓库和租借的仓库时单位体积商品每天的存贮费分别记成和，单位体积商品每天的缺货损失记成，自己的仓库用于存贮这种商品的总体积容量为，每次到货后这种商品的存贮量总体积补充到固定体积容量为止，且。每当这种商品的存贮量总体积降到时即开始订货。试通过建立数学模型说明应如何确定最优订货点和自己的仓库用于存贮这种商品的各自体积容量以及在订货到达时使这种商品各自存贮量补充到的固定体积 ，才能使总损失费用达到最低？问题4 如果把问题2中的三种商
5、品按问题3的方法同时订货，其中立方米，立方米，立方米，自己的仓库用于存贮这3种商品的总体积容量立方米，每次到货后这3种商品的存贮量总体积补充到固定体积容量立方米为止，且该供应站从接到订货通知到货物送达商场的天数服从在1天到3天之间的均匀分布。其余数据同问题2中相应的商品中所列出的数据。试按问题3的模型求出这3种商品的最优订货点和自己的仓库用于存贮这3种商品的各自体积容量以及在订货到达时使这3种商品各自存贮量补充到的固定体积 。问题5商品的销售经常是随机的、订货情况在一段时间后是会发生变化的，相应地商家就应该调整订货和存贮策略。你们能否对此建立数学模型加以讨论。1问题假设1不考虑商品销售率的变化
6、；2当订购货物到达时，可无限量瞬时补充，直至，即不考虑供给方的供给能力限制；3时间是连续变化的；4. 不考虑从仓库到超市的时间延迟和运输费用，即认为仓库和超市是一体的；5在多品种存贮问题中不考虑仓库之间的动态调配；2 单存贮随机问题2.1符号约定商品的销售速率：（）；每次进货的订货费：（元）；使用自己仓库存贮时，单位商品每天的存贮费：（）；租借仓库存贮时，单位商品每天的存贮费：（）；缺货时单位商品的损失为：（）每次订货交货时间为：（天）；每次交货时间为的概率密度：；自己仓库最大容量：（盒）；商品存贮量达到的固定值：（盒）；订货点：（盒）2.2单品种存贮问题分析问题1、2属于运筹学中存贮论一支，
7、是一个仓库容量有限、单品种随机存贮的最优化问题。可以通过建立起目标规划模型进行求解。它以总损失费用最低作为目标，订货点为要其中的变量。总损失费用由三个方面组成：订货费用、仓库贮存费、缺货费。订货费用每次都是固定的，即不考虑订货费用与订货数量、品种的关系。由于自己仓库容量有限，所以要租借外面的仓库存贮。存贮费用包括两个方面：使用自己仓库的存贮费和租借仓库的存贮费。而租借仓库存贮费用要高于自己仓库费用，即，所以在销售时应该先售出外仓库内存贮部分，再售出自己仓库存贮部分。给定一个订货点，当存贮量降到订货点时要发出订货单。题中订货不是立即送到，而是需要一定时间的，在存贮论中将这段时间称为滞后期，在后面
8、的论文当中都将采用该名词来描述订货送到时间。滞后期的取值是随机的，因此不能保证在订货到达时商品一定还有剩余，而有可能出现订货未到时商品已全部售出，从而发生商品短缺现象。而商品的短缺直接造成了商家的损失，这一损失有因为减少销售带来的损失、商家信誉受损、客户减少等。题中给出了缺货时单位商品每天的损失费用，说明当天缺少的商品其影响会延续到后面的时间中，直到得到补偿。在此只考虑因为减少销售带来的损失，缺货量增加的速率为销售速率。题中指出，每次订货到达后将商品存贮量补充到固定值为止。所以对于滞后期内的缺货量，在补充货物时不考虑进行补偿。滞后期的不确定，还使得订货到达时商品的剩余量是不确定的，即在订货时商
9、家不能给出具体的订货量，而要在送货到达时保证商品能够补充到固定值，则送货厂商必须要具有一定的供给能力，在题中将不考虑厂商供给能力的限制，而认为它是无限大的，商品必能补充至。因为每次订、送货情况不一样，交货时间是随机的，使得唯一的订货点不能保证每次的损失都是最低的，故采用一个概率平均值来描述损失费用。在概率平均的情况下，以连续两次收到补充订货的时间间隔作为一个时间周期。则应取损失费=，即用单位时间（题中取天）内的平均损失费用来进行评价。利用该损失值最小的约束条件来得出最优订货点。现先讨论一个周期内商品的总损失。商品的总损失由三部分组成：1） 每次进货时的订货费用；2） 商品在未卖出时需要存贮而由
10、此产生的存贮费用；3） 因缺货减少了销售量，由此造成的损失费。则总费用表示为，其中、分别表示上述各项的费用。由题知，每次进货的订货量为常数，即是固定的，它不受送货时间随机性的影响。存货费用由两部分组成：租借仓库存贮费+自己仓库存贮费，表示为。滞后期的改变会使得一个周期的长度改变，即商品存贮时间发生变化，这使的值是不固定的。是滞后期变化的。缺货损失费用是由滞后期的随机性引起的，它也是的函数。故要使一周内的总损失最小，只需考虑存货费用和缺货损失费的影响。下面将对它们进行具体的讨论分析，建立起总损失费用的具体模型。2.3单品种存贮模型的建立在问题2中给出的滞后期是一些离散数据，由之得到的滞后期随机分
11、布函数也是一些离散的值，但是考虑到实际情况缺货半天和缺货一天的损失肯定是不同的。以及我们已经假设仓库与超市是一体的，那么超市的货物是随时可以补充的，所以我们在建立模型的时候，将时间看作是连续的，采用连续的方法来进行分析建模，将库存量、缺货量、库存费用、缺货费用、滞后期分布函数等在时间上进行连续化。这样对模型进行分析和求解也比较简单。由于自己仓库容量的限制，需要租借仓库来进行存贮，这与只存在就增加了问题的经分析，根据订货点的取值将问题分为两种情况：；。1，订货点大于自己仓库的最大容量这又可以分为两种情况，分别如图2-1中左、右所示。图2-1 时库存量及日损失费随时间的变化曲线I：，即不会发生缺货
12、现象，在送货到达时商品还有剩余或恰好售完。这一情况如图2-1中左边部分所示。看左上图，以每个周期开始时刻为0点，此时总的库存量为，它以不变的销售速率均匀减少。到时刻降为，也即租借仓库内的商品销售完全。时刻库存降至，此时发出订货单。在时刻，商品仍有库存或恰好售完，而补充货物送到，将其补充至，故也即下一周期的起点。段长度即为滞后时间。定义一个日损失费，它是指单位时间（天）内除订货费之外其他损失费之和。这一值是随着时间改变的。在一个周期的时间上对它进行积分，可得到一个周期存贮和缺货损失费之和。在时段内，单位时间内自己仓库内的库存不变，其单位时间内的损失费用不变，为；而租借仓库内的商品以速率减少，其库
13、存费用的减少速率为，在左下图中即表现为AB段的斜率为。在A即周期起点处，总库存为，其中部分存在自己仓库内，部分存在租借仓库内，。在时段，库存只剩下自己仓库里的，日库存费用从以速率减少，至时刻库存降为。而点为该周期的终点，此时送货到达，而。很直观地，段的累积损失费为梯形A0B的面积，段累积损失费用为梯形BC的面积，段的累积损失费用为梯形CD的面积。计算如下：则在无缺货情况下， 一个周期内总的损失费用是面积、之和加上订货费，即：（2-1）II：，要发生缺货的情况。、段与I的情况相同，时刻库存降至0，而订货尚未送到，此后时段都处于缺货状态，单位时间的缺货费用（即缺货费用的变化率）是由0开始按的速率增
14、加。在时段，右上图库存量变化折线延伸到了0点以下，但它并不表示库存量为负，而是为了体现出缺货的状态。到时刻订货送达，缺货状态解除，而此时缺货费用增长到最高，。三角形DE的面积即该周期内总的缺货损失费。同上可计算得出：故在有缺货时，一个周期内总的损失费为面积、之和加上订货费。（2-2）观察发现，I、II情况中求得的总损失费用表达式的右端存在着相同的部分，即其是相等的，表示租借仓库存贮量至销售完时所积累存贮费用与自己仓库存贮量降至时积累存贮费之和。不同的只是滞后时间部分，该部分开始时间是存贮量降为的时刻，结束时间为送货到达时刻。对于情况I，不包含缺货费用，而II中多了缺货费用一项。故可以把式子写成
15、： （2-3）其中，。在上面的式子当中，费用是送货时间的函数，即在每一个周期里，如果确定了，就能确定。而如题中所述，是一个随机变量，对于损失费用的评价最好使用一个概率平均值。在的密度函数已知情况下，可得到损失费用为 （2-4）2，订货点大于自己仓库的最大容量图2-2 时库存量及日损失费随时间的变化曲线如图2-2所示，此时还要分三种情况考虑：I：，送货到达时租借仓库内仍然存有商品，无缺货；II：，送货到达时租借仓库内已无存贮商品，而自己仓库内还存有部分商品，无缺货；III：，送货到达时租借仓库和自己仓库内均空，有缺货现象。下面分别加以推导这三种情况下总损失费用表达式。I：由于分析过程与时相同，故以下只给出计算表达式，而不给出推导过程。；：总的损失费用为： （2-5）II：；： （2-6）III：；： （2-7）观察三种情况下的总费用的表达式，发现它们有共同的一项，其相同。对总费用求其期望值得到如下：
