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1、祝愿各位考生获得成功！导数专题目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1）二、交点与根的分布（23）三、不等式证明（31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围（51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用（70）六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. （切线）设函数.（1）当时，求函数在区间上的最小值；（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于
2、点求证：.解：(1)时，由，解得. 的变化情况如下表：01-0+0极小值0 所以当时，有最小值.(2)证明：曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为. 令，得， ，即. 又， 所以.2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数其中当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，求函数的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论：，则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.
3、5.u.c.o.m ，则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3. 已知函数设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立 关于的函数关系式，并求的最大值；若在(0,4)上为单调函数，求的取值范围。4. （最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=lnx.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1,e上的最小值为，求a的值.解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,)，且 f (x).a0，f (x)0，故f(x)在(0,)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f (x)，若a1，则xa0，即f (x)0在1,e
4、上恒成立，此时f(x)在1,e上为增函数，f(x)minf(1)a，a (舍去).若ae，则xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为减函数，f(x)minf(e)1，a(舍去).若ea1，令f (x)0，得xa.当1xa时，f (x)0，f(x)在(1,a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a,e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1a.综上可知：a.5. （最值直接应用）已知函数，其中.（）若是的极值点，求的值；（）求的单调区间；（）若在上的最大值是，求的取值范围.解：（）.依题意，令，解得 . 经检验，时，符合题意. （）解： 当时，.故的单调增区间是；单
5、调减区间是. 当时，令，得，或.当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和.当时，的单调减区间是. 当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和. 当时，的单调增区间是；单调减区间是.综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.（）由（）知 时，在上单调递增，由，知不合题意.当时，在的最大值是，由，知不合题意.当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意. 所以，在上的最大值是时，的取值范围是.6. （2010北京理数18）已知函数=ln(1+)-+(0).()当=2时，求曲线=在点(1,(1)处的
6、切线方程；()求的单调区间.解：（I）当时，由于，所以曲线在点处的切线方程为 即（II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是7. （2010山东文21，单调性）已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；当时，讨论的单调性.解：因为 ， 所以 ， 令 8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，联系紧密)已知函
7、数若函数 (x) = f (x)，求函数 (x)的单调区间；设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切解：（） ，且，函数的单调递增区间为 （） ， 切线的方程为, 即, 设直线与曲线相切于点，,. 直线也为， 即， 由得 ， 下证：在区间（1,+）上存在且唯一.由（）可知，在区间上递增又，结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一，故结论成立9. （最值应用，转换变量）设函数(1)讨论函数在定义域内的单调性；(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围解：当时，增区间为
8、，减区间为，当时，减区间为当时，增区间为，减区间为，由知，当时，在上单调递减，即恒成立，即，又，10. （最值应用）已知二次函数对都满足且，设函数（，）（）求的表达式；（）若，使成立，求实数的取值范围； （）设，求证：对于，恒有 解：（）设，于是所以 又，则所以 3分 （）当m0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；4分当m=0时，对，恒成立； 5分 当m0时，在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，函数在区间上的最小值为又，函数在区间0，4上的值域是，即又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是.，存在使得成立只须1.13. (2010山东，两边分求，最小值与最
9、大值)已知函数.当时，讨论的单调性；设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数.，令当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，,时，函数单调递减；时，函数
10、单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时,恒成立,此时，函数在单调递减；当时,函数在递减,递增,递减.当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，（）又当时，与（）矛盾；当时，也与（）矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是.14. 设函数（）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标；（）当时，求函数的单调区间；（）当时，设函数，若对于，0，1使成立，求实数b的取值范围.（是自然对数的底，）解：函数的定义域为， （）设点，当时，则，解得，故点P 的坐标为（） 当，或时，当时，故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为，
