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1、第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。1.1.2 数域的定义定义（数域） 设是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = i |Q，其中i =。命题 任意数域K都包括有理数域Q。证明 设为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素。于是。进而Z, 。
2、最后，Z，。这就证明了Q。证毕。1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。定义（集合的映射） 设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。若都有 则称为单射。若 都存在，使得，则称为满射。如果既是单射又是满射，则称为
3、双射，或称一一对应。1.1.4 求和号与求积号 1求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域上个数，我们使用如下记号：,.当然也可以写成,.2. 求和号的性质. 容易证明，事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和，再求总和即可。第一学期第二次课2一元高次代数方程的基础知识1.2.1高等代数基本定理及其等价命题1. 高等代数基本定理 设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果，则称为的次数，记为。定理（高等代数基本定理） C的任一元素在C中必有零点。命题 设是C上一个次多项式，是一个复数。则存在C
4、上首项系数为的次多项式，使得证明 对作数学归纳法。推论 为的零点，当且仅当为的因式（其中）。命题（高等代数基本定理的等价命题） 设 为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。2高等代数基本定理的另一种表述方式定义 设是一个数域，是一个未知量，则等式 （1）（其中）称为数域上的一个次代数方程；如果以带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在中的一个根。定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域上的次代数方程在复数域C内必有一个根。命题 次代数方程在复数域C内有且恰有个根（可以重复）。命题（高等代数基本定理的另
5、一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式，如果存在整整数,及个不同的复数，使得，则。1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性设，其中。设的复根为（可能有重复），则所以；我们记；（称为的初等对称多项式）。于是有定理2.5 (韦达定理) 设，其中。设的复根为。则；命题 给定R上次方程 ， ，如果i是方程的一个根，则共轭复数i也是方程的根。证明 由已知，.两边取复共轭，又由于R，所以.推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。第一学期第三次课3线性方程组 1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换举例
6、说明解线性方程组的Gauss消元法。定义（线性方程组的初等变换） 数域上的线性方程组的如下三种变换（1） 互换两个方程的位置；（2） 把某一个方程两边同乘数域内一个非零元素；（3） 把某一个方程加上另一个方程的倍，这里的每一种都称为线性方程组的初等变换。容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解证明 设线性方程组为 （*）经过初等变换后得到的线性方程组为（*），只需证明（*）的解是（*）的解，同时（*）的解也是（*）的解即可。设是（*）的解，即（*）中用代入后成为等式。对其进行初等变换，可以得到代入（*）后也成为等式，即
7、是（*）的解。反之，（*）的解也是（*）的解。证毕。1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换定义（数域上的矩阵） 给定数域K中的个元素（，）。把它们按一定次序排成一个行列的长方形表格称为数域K上的 一个行列矩阵，简称为矩阵。定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到内作为最后一列，得到的矩阵称为方程组的增广矩阵。定义(矩阵的初等变换) 对数域上的矩阵的行（列）所作的如下变换（1） 互换两行（列）的位置；（2） 把某一行（列）乘以K内一个非零常数；（3） 把某一行（列）加上另一行（列）的倍，这里称为
8、矩阵的行（列）初等变换。定义（齐次线性方程组） 数域上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组。这类方程组的一般形式是命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；证明 对变元个数作归纳。说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上，在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果所给的是数域上的线性方程组，那么做初等变换后仍为上的线性方程组，所求出的解也都是数域中的元素。因此，对上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域中进行。第一学期第四次课第二章 向量空间与矩阵第一节 m维向量空间2.1.1 向量和m维向量空
9、间的定义及性质定义（向量）设是一个数域。中个数所组成的一个元有序数组称为一个m维向量； （）称为一个m维列向量；而称为一个m 维行向量。我们用记集合。定义（中的加法和数量乘法） 在中定义加法如下：两个向量相加即相同位置处的数相加，即.在定义数量乘法为用中的数去乘向量的各个位置，即对于某个， 定义（维向量空间） 集合和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域上的m维向量空间。命题（向量空间的性质） 向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中表示数域，表示中的向量）：（1） 加法结合律：；（2） 加法结合律：（3） 向量（0,0,0）（记为）具有性质：对于任意，有；（4） ，令，称
10、其为的负向量，它满足；（5） 对于数1，有（6） 对内任意数, ，有；（7） 对内任意数, ，有；（8） 对内任意数，有 。2.1.2 线性组合和线性表出的定义定义（线性组合） 设 ，则称向量为向量组的一个线性组合。定义（线性表示） 设，。如果存在，使得，则称可被向量组线性表示。2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述定义（线性相关与线性无关） 设。如果存在不全为零的，使得，则称线性相关，否则称为线性无关。注意：根据这个定义，线性无关可以表述如下：若，使得，则必有。如果，显然线性相关当且仅当齐次线性方程组有非零解，线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。命题 设，则下述两条等
11、价：1）线性相关；2）某个可被其余向量线性表示。证明 1）2）. 由于线性相关，故存在不全为零的个数，使得。不妨设某个。于是，由向量空间的性质有2）1）. 如果某个可被其余向量线性表示，即存在，使得.由向量空间的性质有.于是线性相关。证毕。推论 设，则下述两条等价：1）线性无关；2）任一不能被其余向量线性表示。第一学期第五次课2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系定义（线性等价） 给定内的两个向量组 ， （*） ， （*）如果向量组（*）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个向量也都能被向量组（*）线性表示，则称向量组（*）和向量组（*）线性等价。定义（集合
12、上的等价关系） 给定一个集合，上的一个二元关系“”称为一个等价关系，如果“”满足以下三条：（1） 反身性：；（2） 对称性：；（3） 传递性：。与等价的元素的全体成为所在的等价类。命题 若与在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。证明 记所在的等价类为，的等价类为。若它们的交集非空，则存在，于是有。由等价关系定义中的对称性和传递性即知，与和在不同的等价类矛盾。这就证明了和所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。综上可知，命题成立。证毕。命题 给定内两个向量
13、组 ， （1） ， （2）且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量能被向量组（2）线性表示，则也可以被向量组（1）线性表示。证明 若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在 ，使得 () . （i）由于能被向量组（2）线性表示，故存在 ，使得.将（i）代入，得，即可被线性表示。由此易推知命题 线性等价是的向量组集合上的等价关系。2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩定义（ 向量组的极大线性无关组） 设为中的一个向量组，它的一部分组称为原向量组的一个极大线性无关组，若（1） 线性无关；（2） 中的每一个向量都可被线性表出。容易看出向量组和线性等价。引理 给定上的向量组和，如果可被线性表出，且，则向量组线性相关。证明 由于可被线性表出，故存在，使得 （*）设 . （*）将（*）代入（*），得.设各系数均为零，得到 ， （*）
