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1、2018年数学中考 中点专题1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，
2、MNAC于点N，则MN等于（ ）NMBOCAA B C D二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半” 2、如图，在ABC中，A=90,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断OMN的形状，并说明理由.3、如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为（ ）A. 2 B. 4 C. D.三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、（直接
3、找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABCBAC的角平分线，BDAD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长6、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形ABCD中，CDAB，对角线AC、BD相交于点O，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.求证：SPQ是等边三角形。四、两条线段相等
4、，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）7、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明图甲BACEDFGMABCDFGEM 图乙BDCA五、有中点时常构造垂直平分线8、如图所示，在ABC中，AD是BC边上中线，C=2B. 2AC=BC。求证：ADC为等
5、边三角形。六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）9、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于_. 七、倍长中线10、如图，ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：ABAD11、如图，点D、E三等分ABC的BC边，求证：AB+ACAD+AE八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 12、半径是 5 cm的圆中，圆心到 8 cm长的弦的距离是_13、半径为的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_，最长弦是_，14、如图，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E，若A
6、C=2cm，则圆O的半径为_cm。15、如图，在O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_.16、如图，O的直径AB和弦CD相交于E，若AE2cm，BE6cm，CEA300，求：CD的长；17. 已知：如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段
7、，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 遇到中点引发六联想1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质例1、如图1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MNAC于点N，则MN等于【 】A B C D分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；由点M为BC中点，如果连接AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边BC上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。解: 连接AM， AB=AC=5
8、, 点M为BC中点 AMBC，在直角三角形AMC中，AC=5，CM=BC=3, AM=4，SABC= BCAM=64=12 , SACM= SABC =6； 6=ACMN， MN=. 所以，选择C。2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。分析：由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，知道FGBC,FEAC，FE=AC，由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=AC，所以，EF=DG，这样，我们就可以说
9、明梯形EFGD是等腰梯形了。证明： 点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点， FGBC ， FEAC，FE=AC， AD是三角形的高， ADC是直角三角形， DG是斜边上的中线， DG=AC， DG=EF, 梯形EFGD是等腰梯形。3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”例1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，我们就自然联想到三角形的中位线定理，但是在这里，我们发现缺少三角形
10、，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。证明：连接AC， E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。 EFAC ，EF =AC， GHAC，GH=AC， EFGH，EF=GH， 四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形例4、如图6所示，已知梯形ABCD，ADBC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE。 求证：SABE=S四边形ABCD。分析：如果直接证明，是不容易，联想到ADBC，点E是CD的中点，我们延长AE，与BC 的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的
11、三角形，并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就好解决了。证明：如图7所示，延长AE，与BC 的延长线交于点F， ADBC， ADE=FCE，DAE=CFE，又 点E是CD的中点， DE=CE， ADEFCE， AE=EF， SABE= SBEF， SBEF= SBEC+ SECF= SBEC+ SADE， SABE= SBEC+ SADE， SABE+ SBEC+ SADE= S四边形ABCD， 2 SABE= S四边形ABCD， SABE= S四边形ABCD。5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”例5、如图8所示，是O的弦，点是AB的中点，若，则O
12、的半径为 cm分析：由点C是AB 的中点，联想到圆的垂径定理，知道OCAB，这样在直角三角形AOC中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。解： 点C是AB 的中点， OCAB， AB=8, AC=4在直角三角形AOC中，AC=4,OC=3, OA=5(cm)，因此，圆的半径是5cm。6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等例6、如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于：【 】A、 B、 C、 D、分析：如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。解：如图
13、10所示，连接BG， E是线段AB的中点， SAEG= SBEG=x， SBGF= SGCF=y，设AB=2a，BC=2b， =2a2b=4ab， 根据题意，得：2 y +x=BCBE=ab， 2x+y=BABF=ab， 2x+y=2y+x，即x=y=， 4x=， S四边形AGCD= 等于， 所以，选D。几何必考辅助线之中点专题专题性总结 中点专题 角平分线专题 截长补短专题 中点专题看到中点该想到什么？1两条线段相等，为全等提供条件 2中线平分三角形的面积 3倍长中线 4中位线 5斜边上的中线是斜边的一半 【例1】(2008北京)如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC。若ABCBEF60， 探究PG与PC的位置关系及的值。 将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。你在中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。【例2】如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交A
