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1、2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷2006.4.2 8：0011：00本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分第卷（选择题 共36分）一、 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列an的通项公式，则an的最大项是（ ）(A) a1 (B) a2 (C ) a3 (D) a4o11xyo11xy2. 函数的图像大致是（ ） (A ) (B )o11xyo11xy (C ) (D)3. 已知抛物线y2=2px，o是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得POF 是直角三角形，则这样的点P共有(
2、) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个4.设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数若x1+x2O，x2+x3O，x3十x1O，则 ( ) (A)f(x1)+f(x2)+f(x3)0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x3)5过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有( ) (A)0条 (B)1条 (C)4条 (D)无数多条6在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若ABC最长的边为1，则最短边的长为（ ）A B C D 二填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分.7集合A=xx=3n，nN，0n10，B=yy=
3、5m，mN，Om6, 则集合AUB的所有元素之和为 8设COS2= ，则COS4+sin4 的值是 9(x-3x2)3的展开式中，x5的系数为 00010.已知 ,则x2+y2的最大值是 11等比数列的首项为，公比设表示该数列的前n项的积，则当n= 时，有最大值12长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB1=4，AD1=3，则对角线AC1 的取值范围为 三、解答题（第13题、14题各12分，15题16分，16题20分）13设集合A=，B=，若AB，求实数a的取值范围。14椭圆的右焦点为F，P1，P2，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且P1FP2=P2F
4、P3=P3FP4=P24FP1.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S，求S2的值15. ABC中,AB3时，p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k1型的奇数 p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p1)(p+1)是24的倍数， 从而p2+71是24的倍数 设p2+71=24m，m4 若m有不同于2、3的质因数，则，p2+71的正因数个数(3+1)(1+1)(1+1)l0； 若m中含有质因数3，则，p2+71的正因数个数(3+1)(2+1)10； 若m中仅含有质因数2，则p2+71的正因数个数(5+1) (1+1)10； 所以，p3不
5、满足条件综上所述，所求得的质数p是2或3.2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知函数，则 答： （A）有最小正周期 （B）有最小正周期（C）有最小正周期 （D）无最小周期2. 关于的不等式任意两个解的差不超过，则的最大值与最小值的和是 答： （A） （B） （C） （D） 3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的 三点是 答： （A） 、 （B） 、（C） 、 （D） 、4. 设、为平面，、为直线，则的一个充分条件是 答： （A）， （B），（C）， （D），5. 若、，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为 答： （A
6、）个 （B）个 （C）个 （D）个 6. 已知（R），且 则a的值有 答： （A）个 （B）个 （C）个 （D）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设为等差数列的前项和，若，则公差为 .8. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于 . 9. 已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为 . yOx110. 圆锥曲线的离心率是 .11. 在中，已知，则的面积为 .12. 设命题:，命题: 对任何R，都有. 命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）13. 设不等式组 表示的平面区域为. 区域内的动点到直线和直线的距离
7、之积为. 记点的轨迹为曲线. 过点的直线与曲线交于、两点. 若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率. 14. 如图，斜三棱柱中，面是菱形，侧面B1BA1C1AC，. 求证：（1）；（2）求点到平面的距离. 15. 已知数列中，. 求.16. 已知平面上个圆，任意两个都相交. 是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2007年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1已知函数，则（ B ）. （A） 有最小正周期为 （B） 有最小正周期为（C） 有最小正周期为 （D） 无最小正周期解：，则最小正周期. 故选（B）2关于的不等式任意两个解的差不
8、超过9，则的最大值与最小值的和是（ C ）. （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 解：方程的两根是，则由关于的不等式任意两个解的差不超过，得，即 . 故选（C）3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的三点是（ A ）. （A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D解：ab，所以A、B、D三点共线. 故选（A）4设、为平面，、为直线，则的一个充分条件是（ D ）.（A）， （B），（C）， （D），解：（A）选项缺少条件；（B）选项当，时，；（C）选项当、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），时，；（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题. 故选（D）5. 若、，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为（ C ） （A）个 （B）个 （C）个 （D）个解：由及题设知，个位数字的选择有5种. 因为 ，故（1） 由知，首位数字的可能选择有种；（2） 由及知，首位数字的可能选择有种. 于是，符合题设的不同点的个数为种. 故选（C）6已知（R），且 则a的值有（ D ）. （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有 所以当，且时，恒有由于不等式的解集
