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1、立体几何立体几何 一、高考预测一、高考预测 立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是 立体几何中的向量方法高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不 同的在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图 的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型 主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都 是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法 进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解
2、答题的第 一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或 者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计 算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点” ；三类垂直的共同点是“成角 90”. 线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. 3。直线与平面所成角的范围是 2 , 0 ；两异面直线所成角的范围是 2 , 0( .一般情况下， 求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况 即可. 4。立体几何中的计算主要是
3、角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与 平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去 求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余 弦值为a时，其所成角的大小应为 |arccos a . 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直 线所成角的概念是不一样的.本题中的向量1 BD 与DE所成的角大小是两异面直线 DE 与 BD1 所成角的补角. 7。长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、 高分别为 cba, ，对角线长为l，则 2222 c
4、bal .利用这一关系可以得到下面两个结论： （1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为 , ，则 1coscoscos 222 ； （2）若长方体的对角线与三面所成角分别为 , ，则 2coscoscos 222 . 10.关注正棱锥中的几个直角三角形：（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形； （2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆 半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角 形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直 角三角形中. 11。特别注意有一侧棱与底面垂直且底
5、面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四 个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容. 12。对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线 的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认 清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据 问题画出空间图形. 【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间 想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型 的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种
6、：一种是利有平面的基本定 理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相 交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线） （注意该定理地应用如证明诸线共点的方法： 先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三 条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平 面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内 通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线 即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行
7、及 面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用 2.（1）正方体 ABCDA1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分别是 AB、AD、B1 C1的中点。那么正 方体的过 P、Q、R 的截面图形是（） （A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 (答案：D) （2）在正三棱柱ABC- 111 A B C 中，P、Q、R 分别是BC、 1 CC 、 11 AC 的中点，作出过 三点 P、Q、R 截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。 答案：五边形。 【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对 本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直
8、线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一 方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在 空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内 的直线所成的角与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角的关系，由公 式cos coscos （其中是直线与平面所成的角）易知cos cos ， coscos （最小角定理）故一般地，若异面直线 a、b 所成的角为，L 与 a、b 所成的角均为，据上式有如下结论：当 0 2 时，这样的直线不存在；当 2 时，这样的直线只有一条；当22 时，这样的直线有两条；当 2 时这样的直线有 3
9、 条；当22 时，这样的直线有四条 2.如果异面直线 a、b 所在的角为100 ,P 为空间一定点，则过点 P 与 a、b 所成的角都是 50的直线有几条？ A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 (答案：C) 【易错点易错点 4】4】求异面直线所成的角，若所成角为求异面直线所成的角，若所成角为 0 90，容易忽视用证明垂直的方法来求 ，容易忽视用证明垂直的方法来求 夹角大小这一重要方法夹角大小这一重要方法 1、在三棱柱 111 ABCABC 中，若 1 2ABBB ，则 11 ABC B与 所成 角的大小为（ ）A、 0 60 B、 0 90 C、 0 105 D、 0 75 【易错点分析】
10、忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。 解析：如图 1, D D 分别为 11, BC BC 中点， 连结 1 ,AD DC ，设 1 1,2BBAB则 则 AD 为 1 AB 在平面 1 BC 上的射影。又 1 1 322 ,cos, 323 BC BEBDC BC BC 222 1 2cosDEBEBDBE BDC BC 113221 2 32326 3 而 2220 111 ,90 362 BEDEBDBED 11 ABC B与 垂直。 【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面 角时，对特殊的角，如 0 90时，可以采用证明垂直的方法来求之 【易错点易错
11、点 5】5】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆 1、如图，在北纬 0 45的纬线圈上有 B 两点，它们分别在东经 0 70与东经 0 160的经度上，设地球的半径为 R，求 B 两点的球面距离。 解析：设北纬 0 45圈的圆心为 O ，地球中心为 O，则 000 1 1607090 ,AO B 0 1 45 ,OBOOBR 11 2 , 2 O BO AR ABR 连结 ,AO AB，则 0 ,60AOBOABRAOB 11 2 63 ABRR 。故 A、B 两点间 的球面距离为 1 3 R 。【知识
12、点归类点拨】数学上，某点的经 度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与 本初子午线（ 0 0经 线）和地轴确定的半平 面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经 过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。 如下图： 图（1）：经度P 点的经度，也是AB AOB或 的度数。图（2）：纬度P 点的 纬度，也是 POAPA或 的度数 （III）由 II 知，OF 平面PBC，F是O在平面PBC内的射影.D是PC的中点， 若点F是 PBCA 的重心，则B、F、D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直 线BD. OBPC PCBD PBBC ，即1K .反之，当1K 时，三棱 锥O PBC 为正三棱锥， O
13、在平面PBC内的射影为 PBC 的重心. 方法二:OP 平面ABC, ,OAOC ABBC,.OAOB OAOP OBOP 以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O xyz (如图)，设 ,ABa 则 2 (,0,0) 2 Aa , 2 (0,0) 2 Ba , 2 (,0,0) 2 Ca .设OP h , 则 (0,0, )Ph (I) D 为 PC 的中点，OD 21 (,0,) 42 ah ，又 2 (,0,) 2 PAah ,OD - 1 2 PA OD /PA OD/平面PAB. 【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等 变换，正确
14、地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了 数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、 夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公 式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题 一般可按以下过程进行思考：要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ 所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？所需要的 向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些 未知向量与由已知条件转化的向量有何关系
15、？怎样对已经表示出来的所需向量进行运算， 才能得到需要的结论 【易错点易错点 7】7】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系 数，导致出错数，导致出错 1 如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AB=8， AD=4 3，侧面 PAD 为 等边三角形，并且与底面成二面角为 0 60。 求四棱锥 PABCD 的体积。 解析：如图，去 AD 的中点 E，连结 PE，则PEAD。作 PO 平面 ABCD， 垂足为 O，连结 OE。 根据三垂线定理的逆定理得OE AD ，所以 PEO 为侧面 PAD 与底面所成二面角的平 面角。由已知条件可 0 60 ,6PEOPE ，所以 3 3PO ，四棱锥 PABCD 的体积 1 8 4 33 396 3 P ABCD V 。 【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个 面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求 2、 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱 AA1=2，D、E 分
