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1、信号分析：,任意信号f(t)分解为无穷多冲激信号的和;,信号的脉冲分解,第二章 连续系统的时域分析,系统分析：,已知系统输入,求系统输出.,时域分析方法:,以时间t为自变量的分析方法.,时域分析方法： 第一步：建立数学模型； 第二步：运用数学方法处理、运算和求解（t自变量）； 第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。,本章重点： 1、求系统的零输入响应和零状态响应 2、求系统冲激响应； 3、用卷积积分法求零状态响应。 4、卷积积分的相关性质,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。,第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应,一、连续线性非时变(LTI
2、)系统的描述,LTI系统用n阶常系数线性微分方程描述,ai 、 bj为常数。,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；,二. 微分方程的求解,微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定,特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定,激励f(t),特解yp(t),例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解: (1)
3、求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t),特征方程为,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (2) 求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = x(t)的特解yp(t),由输入x(t)的形式，设方程的特解为,yp(t) = Ce-t,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。
4、,解:(3) 求方程的全解,解得 A=5/2，B= -11/6,1) 若初始条件不变，输入信号x(t) = sin t u(t)，则系统的完全响应 y(t) = ？,2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y (0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？,讨论,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,三、关于0-和0+初始值(初始条件的确定),在系统分析问题中，初始条件要根据激励接入瞬时系统的状态决定。,一）起始状态与初
5、始状态,起始状态：在激励接入之前的瞬时系统的状态,初始状态：在激励接入之后的瞬时系统的状态,二）初始条件的确定,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 2y(t) + y(t) = f ”(t) + 2f(t) 已知y(0-)=1，y(0-)= 1，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：,带入（1）式，比较等号两端(t)项的系数，得,则, 将输入 代入微分方程右端得,系数匹配法,（1）,由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。,a1,b=-2,c=5 故y”(t) =” (t
6、) -2(t)+5(t) +r0(t) y(t) = (t) -2(t)+r1(t) y(t)= (t) +r2(t) 对y”(t) 、y(t) 在无穷小区间0-，0+积分：,y(0+) = y(0-) + 5 =4,y(0+) =-1,四、系统的零输入响应,定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系 统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始状态确定待定系数。,yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-),解: 系统的特征方程为,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y“ (t)+5y (t
7、) +6y (t) =4x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系统 的零输入响应yzi(t)。,系统的特征根为,y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3,解得 K1= 6，K2= -5,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y“ (t)+4y (t) +4y (t) = 3x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 2，y(0-) = -1，求系统 的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,y(0-)=yzi(0-)=K1=1; y(0-)=
8、 y zi(0-)= -2K1+K2 =3,解得 K1 = 2, K2= 3,五、系统的零状态响应,求解系统的零状态响应yzs (t)方法： 1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性非时变系统的特性求解。,定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励x(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs(t)表示。,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。,也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应
9、于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,(1)自由响应：,(2)暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,各种系统响应定义,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分， 随着时间t 增加，它将消失。,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。,(3)零输入响应：,零状态响应：,各种系统响应定义,六、全响应,全响应零输入响应零状态响应,y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+),y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-),全响应自由响应强迫响应,全响应暂态响应稳态响应,思考题:,某系统微分方程为 y(t)+5y(t)+4y(t)=2f(t)-4f(t) 并且初始状态为y(0-)=1, y(0-)=5, 激励为f(t)= (t) 求系统的全响应.,
