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1、第二十四章圆241圆的有关性质241.1圆经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念重点经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念难点理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义活动1创设情境，引出课题1多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体2提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？活动2动手操作，形成概念在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位置和大小分别由什么决定？教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定1从以上圆的形成过程，总结概念
2、：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”2小组讨论下面的两个问题：问题1：圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？3小组代表发言，教师点评总结，形成新概念(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图形上的每个点，都满足
3、这个条件；满足这个条件的每个点，都在这个图形上)活动3学以致用，巩固概念1教材第81页练习第1题2教材第80页例1.多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到O的距离相等活动4自学教材，辨析概念1自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：(1)直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆(2)圆上任意两点间的线段叫做弧(3)在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍(4)长度相等的两条弧是等弧(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧)(5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧2指出图中所有的弦和弧活动5达标检测，
4、反馈新知教材第81页练习第2，3题活动6课堂小结，作业布置课堂小结1圆、弦、弧、等圆、等弧的概念要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、等圆”这些概念的区别和联系等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据2证明几点在同一圆上的方法3集合思想作业布置1以定点O为圆心，作半径等于2厘米的圆2如图，在RtABC和RtABD中，C90，D90，点O是AB的中点求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上答案：1.略；2.证明OAOBOCOD即可241.2垂直于弦的直径理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题通过复合图形的折
5、叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解重点垂径定理及其运用难点探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题一、复习引入在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作“”，读作“圆弧AC”或“弧AC”大于半圆的弧(如图所示)叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示或)叫做劣弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆圆
6、是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线二、探索新知(学生活动)请同学按要求完成下题：如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M.(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.(2)AMBM，即直径CD平分弦AB，并且平分及.这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB，且CDAB垂足为M.求证：AMBM，.分析：要证AMBM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等因此，只要连接OA，OB或AC，BC
7、即可证明：如图，连接OA，OB，则OAOB，在RtOAM和RtOBM中，RtOAMRtOBM，AMBM，点A和点B关于CD对称，O关于直径CD对称，当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合，.进一步，我们还可以得到结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(本题的证明作为课后练习)例1有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB60 m，水面到拱顶距离CD18 m，当洪水泛滥时，水面宽MN32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由分析：要求当洪水到来时，水面宽MN32 m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求
8、R.解：不需要采取紧急措施，设OAR，在RtAOC中，AC30，CD18，R2302(R18)2，R2900R236R324，解得R34(m)，连接OM，设DEx，在RtMOE中，ME16，342162(34x)2，16234268xx2342，x268x2560，解得x14，x264(不合题意，舍去)，DE4，不需采取紧急措施三、课堂小结(学生归纳，老师点评)垂径定理及其推论以及它们的应用四、作业布置1垂径定理推论的证明2教材第89，90页习题第8，9，10题241.3弧、弦、圆心角1理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角2掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应
9、用此关系进行相关的证明和计算重点圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用难点从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系活动1动手操作，得出性质及概念1在两张透明纸片上，分别作半径相等的O和O.2将O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？3在O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生先说，教师补充完善圆心角的概念如图，AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角4判断图中的角是否是圆心角，说明理由活动2继续操作，探索定理及推论1在O中，作与圆心角AOB相等的圆心角AOB，连接AB，AB，将两张纸片叠在一起，使O与O重合，固定圆心，将其中一
10、个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流2学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？4综合2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等请用符号语言把定理表示出来5分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？6定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗
11、？(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等活动3学以致用，巩固定理1教材第84页例3.多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想活动4达标检测，反馈新知教材第85页练习第1，2题活动5课堂小结，作业布置课堂小结1圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组
12、量都分别相等，以及其应用3数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想作业布置1如果两个圆心角相等，那么()A这两个圆心角所对的弦相等B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D以上说法都不对2如图，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE3，求弦CE的长3如图，在O中，C，D是直径AB上两点，且ACBD，MCAB，NDAB，M，N在O上(1)求证：；(2)若C，D分别为OA，OB中点，则成立吗？答案：1.D；2.3；3.(1)连接OM，ON，证明MCONDO，得出MOANOB，得出；(2)成立24.1.4圆周角(2课时)第1课时圆周角的概念和圆周角定理1理解圆周角的
13、概念，会识别圆周角2掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算重点圆周角的概念和圆周角定理难点用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定活动1复习类比，引入概念1用几何画板显示圆心角2教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如AOB.(2)当角的顶点运动到圆周时，如ACB这样的角叫什么角呢？学生会马上猜出：圆周角教师给予鼓励，引出课题3总结圆周角概念(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教
14、师出示下图学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：顶点在圆周上；角的两边都与圆相交最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件活动2观察猜想，寻找规律1教师出示同一条弧所对圆周角为90，圆心角为180和同一条弧所对圆周角为45，圆心角为90的特殊情况的图形提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系由于情况特殊，学生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半2教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所
