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1、【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方
2、形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】ABCD【答案】B。【考点】轴对称图形。【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。故选B。例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的
3、是【 】A B C D【答案】A。【考点】轴对称图形。【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。故选A。例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】【答案】A。【考点】轴对称图形，中心对称图形。【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。故可
4、得选项A与其他图形的对称性不同。故选A。例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【 】【答案】C。【考点】轴对称图形。【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可： A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。故选C。例5. （2012福建三明8分）如图，已知ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（3，3），C（1，3）.画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）画出ABC关于原点O对称的A2B
5、2C2，并写出点A2的坐标.（4分）【答案】解：如图所示，A1（2，1）。如图所示，A2（2，1）。 【考点】轴对称和中心对称作图。【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。例6. （2012四川乐山9分）如图，在1010的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC（即三角形的顶点都在格点上）（1）在图中作出ABC关于直线l对称的A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积【答案】解：（1）如图，A1B1C1 是ABC关于直线l的对称图形。（2）由图得四边形BB1C1C
6、是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4。S四边形BB1C1C。【考点】作图（轴对称变换）。【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分作BM直线l于点M，并延长到B1，使B1M=BM，同法得到A，C的对应点A1，C1，连接相邻两点即可得到所求的图形。（2）由图得四边形BB1 C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可。例7. （2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 【答案】309087。【考点】镜面对称。【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是309087。例8. （2012福建
7、宁德4分）将一张正方形纸片按图、图所示的方式依次对折后，再沿图中的虚线裁剪，最后将图中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】A B C D【答案】B。【考点】剪纸问题【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项B中所示。故选B。例9. （2012福建龙岩12分）如图1，过ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再将BED和CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为ABC的边BC上的折合矩形 （1）若ABC的面积为6，则折
8、合矩形EFGH的面积为 ；（2）如图4，已知ABC，在图4中画出ABC的边BC上的折合矩形EFGH；（3）如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为 【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形EFGH： （3）2a ； 。 【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。 【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形EFGH的面积为ABC的面积的一半， （2）按题意，作出图形即可。 （3）由如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形边长为a，BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a
9、。 根据勾股定理可得正方形EFGH的对角线长为。 例10.（2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形则下列下子方法不正确的是【 】说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)A黑(3，7)；白(5，3) B黑(4，7)；白(6，2)C黑(2，7)；白(5，3) D黑(3，7)；白(2，6)【答案】C。【考点】利用轴对称设计图案。【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋
10、也是轴对称图形；B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。故选C。练习题：1. （2012浙江宁波3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【 】ABCD2. （2012江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【 】 A B C D3. （2012贵州遵义4分）在44的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有
11、 种4.（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图、图对折两次后，再如图挖去一个三角形小孔，则展开后图形是【 】 A B C D5.（2012广西钦州3分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形6. （2012四川广安8分）现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼
12、成的各个四边形的两条对角线长的和7. （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为 8. （2012广东广州12分）如图，P的圆心为P（3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方（1）在图中作出P关于y轴对称的P根据作图直接写出P与直线MN的位置关系（2）若点N在（1）中的P上，求PN的长9. （2012湖南郴州6分）作图题：在方格纸中：画出ABC关于直线MN对称的A1B1C1二、线段、角的轴对称性：典型例题：例1
13、. （2012湖北恩施3分）如图，ABCD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分BEF，交CD于点G，1=50，则2等于【 】A50 B60 C65 D90【答案】C。【考点】平行线的性质，角平分线的定义。【分析】ABCD，BEF+1=180（两直线平行，同旁内角互补）。1=50，BEF=130（等量代换）。EG平分BEF，BEG=BEF=65（角平分线的定义）。2=BEG=65（两直线平行，内错角相等定理）。故选C。例2. （2012海南省3分）如图，在ABC中，B与C的平分线交于点O. 过O点作DEBC，分别交AB、AC于D、E若AB=5，AC=4，则ADE的周长是 .【答案】9。
14、【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。【分析】OB是B的平分线，DBO=OBC。 又DEBC，OBC =BOD。DBO=BOD。DO=DB。 同理，EO=EC。 又AB=5，AC=4， ADE的周长=ADDEAE=ADDOEOAE=ADDBECAE=ABAC=54=9。例3.（2012广东梅州3分）如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，若EC=1，则EF= 【答案】2。【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】作EGOA于F，EFOB，OEF=COE=15，AOE=15，EFG=15+15=30。EG=CE=1，EF=21=2。例3.（2012贵州铜仁5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一
