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1、第一讲 求极限的各种方法教学目的通过教学使学生掌握求极限的各种方法，重点掌握用等价无穷小量代换求极限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求极限 ；利用Taylor公式求极限；数列极限转化成函数极限求解重点难点1用等价无穷小量代换求极限2用罗必塔法则求极限3用对数恒等式求极限 4利用Taylor公式求极限 5数列极限转化成函数极限求解教学提纲1约去零因子求极限2分子分母同除求极限3分子(母)有理化求极限4应用两个重要极限求极限5用等价无穷小量代换求极限6用罗必塔法则求极限7用对数恒等式求极限 8数列极限转化成函数极限求解9n项和数列极限问题10单调有界数列的极限问题第一讲求极限的各种方法求极限是历
2、年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求极限是重点，及时分离极限式中的非零因子是解题的重要技巧。1约去零因子求极限例1：求极限【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。【解】2分子分母同除求极限例2：求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】【评注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求极限例3：求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】例4：求极限【解】【注
3、】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时,；(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；是不正确的(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7：求极限【解】 .例8：求极限【解】例9：求极限.【解】 6用罗必塔法则求极限例10：求极限【说明】或型的极限,可通过罗必
4、塔法则来求。【解】例11：求【说明】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解【解】 7用对数恒等式求极限 例12：极限 【说明】（）该类问题一般用对数恒等式降低问题的难度 （）注意时，【解】 =例13：求极限.【解】 原式 【又如】8数列极限转化成函数极限求解例14：极限【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限所以，9n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；(2)利用两边夹法则求极限。例15：极限【说明】用定
5、积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成0,1定积分。【解】原式例16：极限【说明】(1)该题与上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解； (2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】因为又所以例17：求【说明】该题需要把两边夹法则与定积分的定义相结合方可解决问题。【解】10单调有界数列的极限问题例18：已知，证明存在，并求该极限【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【解】该数列单调增加有上界，所以存在，设对于令，得即例19：设数列满足（）证明存在，并求该极限；（）计算.【解】 （）因为，则.可推得
6、，则数列有界.于是，（因当）， 则有，可见数列单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.设，在两边令，得，解得，即.（）因，由（）知该极限为型， (使用了罗必塔法则)故.第二讲 无穷小与函数的连续性教学目的通过教学使学生掌握无穷小量及无穷小量，无穷大量的概念。无穷小量与无穷大量之间的关系，函数的连续性的判定及函数的间断点的求法。重点难点1用等价无穷小量代换求极限2函数的连续性的判3. 间断点的求法教学提纲. 无穷小如果,就说在这个极限过过程中是无穷小量。.无穷大 ，就说在这个极限过过程中是无穷大量。无界量4.函数的连续性定义1 函数在点的某一领域内有定义，如果(1)极限存在；(2)
7、。那么就称在点连续。、函数的间断点 第一类间断点 左右极限相等（可去间断点）间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点） 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在第二讲无穷小与函数的连续性无穷小量、函数的连续性、间断点的判定等问题的实质是极限问题，理解这些问题的概念，熟练运用求极限的方法是解决这类问题的关键。. 无穷小如果,就说在这个极限过过程中是无穷小量。【说明】（1）说一个函数（数列）是无穷小量，必需指明在哪个极限过程中。在这个极限过程中是无穷小量，在另一个极限过程中不一定是无穷小量。时，是无穷小量，但时，不是无穷小量；（2）0是唯一可作为无穷小的常数；（3）作为无穷小量（），主
8、要看低次方项；作为无穷大量（），主要看高次方项；在同一变化过程中如果,就说是比高阶的无穷小,记作;如果,就说是比低阶的无穷小.如果,就说与是同阶无穷小;如果,就说是关于的k阶无穷小，.如果,就说与是等价无穷小,记作.例1：当时，与是等价无穷小，则求k.【解】 由题设， =，得例2：时无穷小量，排列起来，使排在后面的是排在前面的一个的高阶无穷小量。排列顺序是（ ） a) b) c) d) 【说明】（1）无穷小量的阶主要看它和哪个同阶，然后再阶排定顺序； （2）无穷小量求导数后阶数降低一阶。【解】，应选。例3：设函数在的某邻域具有二阶连续导数，且证明：存在惟一的一组实数，使得当时， 【分析】条件告
9、诉我们因而同上，。【证】略.无穷大 ，就说在这个极限过过程中是无穷大量。定理：当自变量在同一变化过程中时，（）若为无穷大量，则为无穷小量。（）若为无穷小量，且，则为无穷大量。【说明】常见无穷大量的阶无界量如不存在使，对，都有，则称在上无界，则上无界，则上无界例4：时，变量 是( C ) a)无穷小 b) 无穷大；c)无界，但不是无穷大； d)有界，但不是无穷小4.函数的连续性 函数在点的某一领域内有定义，如果(1)极限存在；(2) 。那么就称在点连续。如果函数在开区间内每一点都连续,则称在开区间内连续;如果函数在开区间内连续,在点右连续,在点左连续,则称函数在闭区间上连续。如果,就说函数在点左
10、连续。如果,就说函数在点右连续。例：。【解】 ，、函数的间断点设函数在点的某去心领域内有定义.在此前提下,如果函数有下列三种情形之一:在没有定义;虽在有定义,但不存在;虽在有定义,且存在,但;则函数在点为不连续,而点称为函数的不连续点或间断点.间断点的分类:第一类间断点:左极限及右极限都存在，可去间断点: ，(补充定义使之连续)跳跃间断点:，第二类间断点: 左极限及右极限至少有一个不存在，无穷间断点: ， 第一类间断点 左右极限相等（可去间断点）间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点） 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）例6：求的间断点，并指出它的类型。【分析】由于初等函
11、数在定义域内都是连续的，所以间断点必定是无定义的或分段函数的分点。【解】，是第二类间断点，是第一类间断点，是第二类间断点例7：，求的间断点，并指出其类型【解】 可去间断点，第二类间断点，例8：,=？时,在x=0点连续，x=0是可去间断点。【解】 = =令，有 ，得或.当a=-1时，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，因而x=0是f(x)的可去间断点.例5：确定的值，使得有第二类间断点及可去间断点。【解】常数， ，第三讲 导数与微分法研究教学目的通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌握导数的各种求导方法。重点难点1隐函数的导数求法2参数方程确定的函数的导数求法3形如
12、的函数的导数求法取对数求导法. 变动上线的积分表示的函数的导数教学提纲一、基本概念1导数及其变形2分段函数的导数通过左右导数来求.导数的几何意义4.微分的定义二、求导方法.求导公式及其应用.复合函数求导法隐函数的导数求法4参数方程确定的函数的导数求法5极坐标方程表示的的函数的导数求法形如的函数的导数求法取对数求导法分段函数的导数变动上线的积分表示的函数的导数第三讲导数与微分法研究 一元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。重点掌握分段函数的导数、隐函数的导数、参数（极坐标）方程确定的函数的导数。变动上限的积分表示的函数的导数每年都考。一、基本概念1导数及其变形例1：设在可导，求(1)， (2)(3)2分段函数的导数通过左右导数来求例2：设在连续，文在什么条件下在可导？【解】当，即时，在可导。【讨论】，分别有几个不可导点。例3：已知函数处处可导，试确定的值。【解】(1)欲使在处可导，必先在处连续，故有，即 （2）又在处的左、右导数分别为，故，从而，所以，当，时处处可导。.导数的几何意义设函数在点的导数存在，为，则导数值为函数上一点（，）处的切线的斜率。此时，切线方程为：；法线方程为：。例4：求的切
