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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理科） 本试卷分为选择题和非选择题两部分。全卷共五页，选择题部分1至2页。非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分种。 请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1、 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2、 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应试题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在答题纸上。 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）； 如果事件A，B互相独立，那么P（AB
2、）=P（A）P（B） 如果事件在一次试验中发生地概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率： 球的表面积公式： 球的体积公式： 其中表示球的半径 棱柱的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高，棱锥的体积公式： 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高，棱台的体积公式： 其中分别表示棱台的上、下底面积、h表示棱台的高 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 设U=R， （A） （B） （C） （D） （2）已知a、b是实数，则“a0，b0”是a+b0且ab0的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充
3、分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）设z=1+i（i是虚数单位），则 （A）-1-i （B）-1+ i （C）1- i （D）1+i （4）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是 （A）-10 （B）10 （C）-5 （D）5 （5）在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D式侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 （A）300 （B）450 （C）600 （D）900 （6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （7）设向量a,b满足a=3,b=4,=0.以a,b,a-b的模为边长构成三
4、角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （8）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图像不可能是 （9）过双曲线（a0,b0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是 （A） （B） （C） （D） （10）对于正实数，记M为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：且,有-（-）f（）-f（）（-）.下列结论正确的是 （A）若 （B） （C） （D） 2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 非选择题部分（共100分） 注意事项： 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写
5、在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 （11）设等比数列的公比，前n项和为， 则_. （12）若某几何体的三视图（单元：cm）如图所示，则 此几何体的体积是_. （13）若实数x，y满足不等式组 的最小值是_. （14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价 （单位：元/千瓦时） 低谷月用电量 （单位：千瓦时） 低谷电价 （单位：元/千瓦
6、时） 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_元（用数字作答）。 观察下列等式： , , , , 由以上等式推测到一个一般的结论： 对于n,_. （16）甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_（用数字作答） （17）如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=
7、1,E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面AFD平面ABC,在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是_. 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （18）（本题满分14分）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=, =3. （）求的面积； （）若b+c=6,求a的值。 （19）（本题满分14分）在1，2，3，9，这9个自然数中，任取3个数. （）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率； （）记为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、
8、2和2、3，此时的值是2）。求随机变量的分布列及其数学期望E. （20）（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形。分别为的中点，。 （I） 设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到,的距离。 （21）（本题满分15分）已知椭圆:（）的右顶点（1，0），过的焦点且垂直长轴的弦长为1。 （I） 求椭圆的方程； （II） 设点在抛物线:上，在点P处的切线与交于点，。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求的最小值。 （22）（本题满分14分）已知函数，其中。 （I） 设函数。若 （II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（
9、），使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。 2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学（理科） 一、选择题 1-10 BCDBC ACDCC 1、【解析】 对于，因此 2、【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的 3、【解析】对于 4、【解析】对于，对于，则的项的系数是 5、【解析】取BC的中点E，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有 6、【解析】对于，而对于，则，后面是，不符合条件时输出的 7、【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现 8、【解析
10、】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 9、【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因 10、【解析】对于，即有，令，有，不妨设，即有，因此有，因此有 二、填空题 11、答案：15 【解析】对于 12、答案：18 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18 13、答案：4 【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时， 14、答案： 【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为；对于低峰部分为，二部分之和为 15、答案： 【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二
11、项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于， 16、答案：336 【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种 17、答案： 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 三、解答题 18、解析：（I）因为，又由，得， （II）对于，又，或，由余弦定理得， 19、解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则； （II）随机变量的取值为的分布列为 0 1 2 P 所以的数学期望为 20、证明：（I）如图，连结OP，以
12、O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 （II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为 21、解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为， （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有， 设线段MN的中点的横坐标是，则， 设线段P
13、A的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或； 当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1 22、解析：（I）因，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 ，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以； （II）当时有； 当时有，因为当时不合题意，因此， 下面讨论的情形，记A，B=（）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（）（）； 当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的； 同理，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意
