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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)本试卷满分150分,考试时间120分钟第卷考生注意:1答题前,务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后,用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的4所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效5考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回参考公式:如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么如果事件在一次试验中发生的
2、概率是,那么次独立重复试验中恰好发生次的概率以为半径的球体积:一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。1直线与圆的位置关系为( )A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离2已知复数的实部为,虚部为2,则=( )A B CD 3的展开式中的系数是( )A16B70C560D11204已知,则向量与向量的夹角是( )ABCD5不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( )ABCD6锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为(
3、)A B C D7设的三个内角,向量,若,则=( )ABCD8已知,其中,则的值为( )A6BCD9已知二面角的大小为,为空间中任意一点,则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为( )A2B3C4D510已知以为周期的函数,其中。若方程恰有5个实数解,则的取值范围为( )ABCD二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分把答案写在答题卡相应位置上11若,则 12若是奇函数,则 13将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答)14设,则数列的通项公式= 15已知双曲线的左、右焦点分别为,若双曲线上存在一点使,则该双曲线的离心率的取值范围是
4、 三、解答题:本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16(本小题满分13分,()小问7分,()小问6分)设函数()求的最小正周期()若函数与的图像关于直线对称,求当时的最大值17(本小题满分13分,()问7分,()问6分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和,且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中:()两种大树各成活1株的概率;()成活的株数的分布列与期望18(本小题满分13分,()问5分,()问8分)设函数在处取得极值,且曲线在点处的切线垂直于直线()求的值;()若函数,讨论的单调性19(本小题满分12分,()问5分,
5、()问7分)如题(19)图,在四棱锥中,且;平面平面,;为的中点,求:()点到平面的距离;()二面角的大小20(本小题满分12分,()问5分,()问7分)已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为,离心率,是椭圆上的动点()若的坐标分别是,求的最大值;()如题(20)图,点的坐标为,是圆上的点,是点在轴上的射影,点满足条件:,求线段的中点的轨迹方程;21(本小题满分12分,()问5分,()问7分)设个不全相等的正数依次围成一个圆圈()若,且是公差为的等差数列,而是公比为的等比数列;数列的前项和满足:,求通项;()若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:;绝密启用前2009年普通高等学校招生全
6、国统一考试(重庆卷)数学试题(理工农医类)答案一、 选择题:每小题5分,满分50分 .(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C(7) C (8) D (9) B (10) B.二填空题:每小题5分,满分25分 .(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )三解答题:满分75分 .(16)(本小题13分)解:()= = = 故的最小正周期为T = =8 ()解法一: 在的图象上任取一点,它关于的对称点 .由题设条件,点在的图象上,从而 = = 当时,因此在区间上的最大值为解法二: 因区间关于x = 1的对称区间为,且与的图象关于x
7、= 1对称,故在上的最大值为在上的最大值由()知 当时,因此在上的最大值为 .(17)(本小题13分)解:设表示甲种大树成活k株,k0,1,2表示乙种大树成活l株,l0,1,2则,独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 , . 据此算得 , , . , , . () 所求概率为. () 解法一:的所有可能值为0,1,2,3,4,且 , , = , . .综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9从而,的期望为(株)解法二:分布列的求法同上令分别表示甲乙两种树成活的株数,则故有从而知18、(本小题13分)解()因又在x=0处取得极限值,故从而由曲线y=在(1,f(1)处
8、的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2,即()由()知,令(1)当(2)当K=1时,g(x)在R上为增函数(3)方程有两个不相等实根当函数当时,故上为减函数时,故上为增函数(19)(本小题12分)解法一:()因为AD/BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。因为平面故,从而,由AD/BC,得,又由知,从而为点A到平面的距离,因此在中()如答(19)图1,过E电作交于点G,又过G点作,交AB于H,故为二面角的平面角,记为,过E点作EF/BC,交于点F,连结GF,因平面,故.由于E为BS边中点,故,在中,,因,又故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此而在中,在中,可得,故所求二面角
9、的大小为解法二:()如答(19)图2,以S(O)为坐标原点,射线OD,OC分别为x轴,y轴正向,建立空间坐标系,设,因平面即点A在xoz平面上,因此又因AD/BC,故BC平面CSD,即BCS与平面yOx重合,从而点A到平面BCS的距离为.()易知C(0,2,0),D(,0,0). 因E为BS的中点.BCS为直角三角形 ,知 设B(0,2, ),0,则2,故B(0,2,2),所以E(0,1,1) .在CD上取点G,设G(),使GECD .由故 又点G在直线CD上,即,由=(),则有联立、,解得G,故=.又由ADCD,所以二面角ECDA的平面角为向量与向量所成的角,记此角为 .因为=,,所以 故所
10、求的二面角的大小为 .(20)(本小题12分)解:()由题设条件知焦点在y轴上,故设椭圆方程为(a b 0 ). 设,由准线方程得.由得,解得 a = 2 ,c = ,从而 b = 1,椭圆方程为 . 又易知C,D两点是椭圆的焦点,所以, 从而,当且仅当,即点M的坐标为时上式取等号,的最大值为4.(II)如图(20)图,设 .因为,故 因为 所以 . 记P点的坐标为,因为P是BQ的中点所以 由因为 ,结合,得 故动点P的估计方程为(21)(本小题12分) 解:(I)因是公比为d的等比数列,从而 由 ,故 解得或(舍去)。因此 又 。解得 从而当时, 当时,由是公比为d的等比数列得因此(II)由题意得有得 由,得, 故. 又,故有.下面反证法证明:若不然,设若取即,则由得,而由得得由得而及可推得()与题设矛盾同理若P=2,3,4,5均可得()与题设矛盾,因此为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等(否则,从而与题设矛盾),故等号不成立,从而又,由和得因此由得