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1、2.2 一维连续型随机变量的分布密度,一、 一维连续型随机变量及其分布密度,定义 设X是一个随机变量，如果总存在非负可积函数f(x), 使对任意实数a,b有,则称X为一维连续型随机变量，f(x)为X的分布密度函数，简称分布密度。,概率密度f(x)的性质：,连续型随机变量取定值（单点值）的概率为零。,若X是连续型随机变量， X=a 是不 可能事件，则有,若 X 为离散型随机变量,注意,连 续 型,离 散 型,对于连续型随机变量X，其分布函数,且,可以证明：一维连续性随机变量的分布函数是连续函数。,分布函数用于计算随机变量取值的概率：,连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关,则称X
2、服从（a,b）上的均匀分布， 记为XU(a,b),二、常用的一维连续型随机变量的概率分布,1 均匀分布,如果X的密度函数为,均匀分布的意义,分布函数,例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，
3、每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,例3 设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 ”,解,即 A= X 3 .,因而有,设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则,则称X服从参数为的指数分布.记作XE( ),2 指数分布,如果随机变量X具有概率密度,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,分
4、布函数,例4. 设随机变量X服从 的指数分布， 试求：,3 正态分布,如果随机变量X具有概率密度,其中 均为常数，则称X服从参数为 的正态分布，记作XN( ),若XN( ), 则X的分布函数为,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,高斯,正态分布的分布密度及分布函数图像：,（4） 参数 确定曲线的中心位置， 影响曲线的形 状.曲线在 处有拐点。,正态分布的分布密度函数具有以下特征：,（1） 密度曲线f(x)关于x= 对称；,（2） f(x)在x=
5、 处达到最大值，最大值为,（3） f(x)的曲线以x轴为水平渐近线；,当 时，称随机变量X服从标准正态分布，记为XN(0,1)其密度函数为,特别：,若XN(0,1),则其分布函数为,重要结论：,一般正态分布与标准正态分布的关系：,随机变量的标准化！,启示：,关于一般正态分布的问题，都可以转化为标准正态分布的问题来解决！正态分布是核心！,标准正态分布函数 的函数值表的用法：,正态分布概率的计算：,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量、 高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,例5 公共汽车车门
6、的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解: 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h) 0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,因为XN(170,62),查表得 (2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.,二项分布的正态近似,定理(棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）,设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p).,实用中，n 30, np 10时正态近似的效果较好.,例6 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由 .,解: 设X为10000次试验中出现正面的次数，,采用正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,=1-(16),0,此概率接近于0, 故认为这枚硬币不均匀是合理的 .,近似正态分布N(0,1).,2. 常见连续型 随机变量的分布,三、小结,
