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1、第三节 多元函数微分法,一 复合函数微分法 二 隐函数微分法,- 1 -,一 复合函数微分法,- 2 -,1 链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算：,- 3 -,证,- 4 -,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,- 5 -,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,且可用下列公式计算,- 6 -,链式法则如图示,- 7 -,类似地再推广，,且可用下列公式计算,- 8 -,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,- 9 -,解,- 10 -,解,- 11 -,例3,设,求,解,令,则,同理,- 12 -,例4,设,计算,其中
2、,二阶,偏导数连续。,解,令,为方便起见记,同理有,则,在计算含有抽象复合函数的偏导数是应当注意,1）要学会分析函数的复合关系,- 13 -,3) 在计算高阶偏导数时,要注意,仍保持,的,复合关系.,- 14 -,例5,设,求,解,二阶偏导连续,- 15 -,例6,设函数,二阶可导，,求,解,- 16 -,- 17 -,例7,解,其中,二阶偏导数连续。,- 18 -,解,- 19 -,例9,设,求,其中,二阶可导。,解,- 20 -,2 全微分形式不变性,设函数,具有连续偏导数，,当,时，,则有全微分,如果,是自,变量，,由于,- 21 -,全微分形式不变形的实质：,它的全微分形式是一样的.,
3、一阶全微分形式不变性,- 22 -,例10,利用全微分形式不变性可以计算较复杂函数的,一阶(偏)导数.,设,求,解,- 23 -,.,二 隐函数的微分法,- 24 -,1 一个方程的情形,1）,隐函数存在定理1,且,它满足条件,并有,- 25 -,解法1,令,则,解法2,视方程中,为,函数，,方程两边对,求导,- 26 -,解,令,则,- 27 -,函数的一阶和二阶导数为,- 28 -,隐函数存在定理2,且,并有,2),- 29 -,解法一,视方程,中,为,的函数，,方程两边分别关于,求偏导数，,- 30 -,解法二,- 31 -,解法三,- 32 -,解法1,令,则,- 33 -,对关系式,
4、两边关于,再求,一次偏导数，,解法2,- 34 -,思路：,解,令,则,- 35 -,整理得,整理得,- 36 -,整理得,- 37 -,2 方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即,- 38 -,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式 :, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,- 39 -,- 40 -,例16,求,解,设,视方程组中的,为,的函数，两边对,求导,- 41 -,解,将所给方程的两边对,求导并移项,- 42 -,- 43 -,- 44 -,
