程守洙《普通物理学》第六版第五章

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1、5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程,5-2 分子热运动和统计规律,5-3 理想气体的压强和温度公式,5-4 能量均分定理 理想气体的内能,5-5 麦克斯韦速率分布律,5-6 麦克斯韦玻耳兹曼能量分布律 重力场中粒子按高度的分布,5-7 分子碰撞和平均自由程,5-8 气体的输运现象,5-9 真实气体 范德瓦耳斯方程,第五章 气体动理论,一、状态参量的微观解释,1. 体积 V 气体分子所能到达的空间。,2. 压强 p 气体分子垂直作用于器壁单位面积上的 力，是大量气体分子与器壁碰撞的宏观 表现。 1atm =760 mmHg =1.01105 Pa,为了描述物体的状态，常采用一些物理量来

2、表示物体的有关特性，例如体积、温度、压强、密度等，称状态参量（state parameter）。,5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程,热力学温标(T：K)与摄氏温标(t：)： t /=T /K-273.16,3. 温度 T 反映物体冷热程度的物理量，其高低反 映内部分子热运动的剧烈程度。,二、平衡态 准静态过程,平衡态（equilibrium state）：在不受外界影响（即系统与外界没有物质和能量的交换）的条件下，无论初始状态如何，系统的宏观性质在经充分长时间后不再发生变化的状态。,从微观角度，存在热运动，又称为热动平衡状态（thermodynamical equilibrium

3、state）。,气体处于热平衡、力学平衡与化学平衡。,一定质量的气体的平衡态可以用 一组状态参量（p、V、T） 表示。在P-V 图上是一个确定的坐标点。,当气体的外界条件改变时，气体从一个状态不断地变化到另一状态，如果状态变化过程进展得十分缓慢，使所经历的一系列中间状态，都无限接近平衡状态，这个过程就叫做准静态过程（quasi-static process）或平衡过程（equilibrium process）。在P-V 图上是一条连续的曲线。,三、理想气体状态方程,理想气体（ideal gas）：在任何情况下都严格遵守波意耳定律、盖吕萨克定律以及查理定律的气体。是实际气体在压强趋于零时的极限。

4、宏观模型,当质量为m、摩尔质量为的理想气体处于平衡态时，它的状态参量（p、 V、T） 满足方程：,（理想气体状态方程）,（普适气体常量）,系统的压强、体积、温度中任两个量一定，就可确定系统的状态，因此常用p-V 图中的一点表示气体的一个平衡态，p-V 图上的一条曲线来表示系统的一个准静态过程。,一定量理想气体的等温线,例5-1 某种柴油机的汽缸容积为 0.82710-3 m3。设压缩前其中空气的温度47 C，压强为 8.5104 Pa。当活塞急剧上升时可把空气压缩到原体积的1/17，使压强增加到 4.2106 Pa， 求这时空气的温度。 如把柴油喷入汽缸，将会发生怎样的情况？（假设空气可看作理

5、想气体。）,只需考虑空气的初状态和末状态，有,T1=273+47=320（K）,这一温度已超过柴油的燃点，所以柴油喷入汽缸时就会立即燃烧，发生爆炸推动活塞做功。,解：,例5-2 容器内装有氧气，质量为 0.10 kg，压强为 10105 Pa ，温度为 47 C 。因为容器漏气，经过若干时间后，压强降到原来的 5/8，温度降到 27 C 。 问 (1) 容器的容积有多大？ (2) 漏去了多少氧气？,解：(1),（2）若漏气若干时间之后，压强减小到 p，温度降到 T。如果用m 表示容器中剩余的氧气的质量，由状态方程得,漏去氧气的质量为,一、分子热运动的图像,分子热运动：大量分子做永不停息的无规则

6、运动。,5-2 分子热运动和统计规律,布朗运动,分子热运动的图像：,1. 标准状态下 ，气体分子之间的距离大约是分子本身线度（10-10 m）的10倍左右，可把气体看作是彼此相距很大间隔的分子集合。,2. 分子与分子间的相互作用力，除了在碰撞的瞬间以外，极为微小。,3. 分子热运动的平均速度约 = 500 m/s ， 分子的平均碰撞频率约 = 1010 /s， 分子的平均自由程约 =10-7 m。,返回,二、分子热运动的基本特征,分子热运动的基本特征：分子的永恒运动与频繁的相互碰撞。,分子热运动与机械运动有本质的区别。,1. 分子热运动的无序性,2. 分子热运动的统计性,平衡态的统计假设：1、

7、平衡态时，气体分子数密度分布均匀；2、分子沿各个方向运动的机会是均等的，没有任何一个方向上气体分子的运动比其他方向更占优势。,宏观量（macroscopic quantity）：表征大量分子的整体特征的量。如温度、压强、热容等，是实验中能测得的量。,微观量（microscopic quantity）：表征个别分子特征的物理量。如某个分子的质量、速度、能量等，在现代实验条件下是不能直接测得的量。,统计方法的作用：在气体动理论中，必须运用统计方法， 求出大量分子的某些微观量的统计平均值，用以解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质。,几个统计物理学术语,三、分布函数和平均值,偶然事件：不可预测而又大

8、量出现的事件。,多次观察同样的事件，可获得该偶然事件的分布规律。,例如：伽耳顿板实验,投入一个小球，一次实验中，小球落入哪个狭槽是偶然的。,投入大量的小球，落入各个狭槽的小球数目遵守一定的统计规律。,则小球该的总数为,为了描述统计规律，引入分布函数：,设第 i 个狭槽的宽度为xi ，其中积累的小球高度为 hi ，则此狭槽内的小球数目Ni 正比于小球占的面积A = hixi 。,令 Ni =C A = C hi xi,第 i 个狭槽内小球数目占总球数的百分比为,可作为每个小球落入第 i 个狭槽内的概率。,令,则,f (x)表示小球落在x附近单位区间内的概率，或小球落在x处的概率密度，称为小球沿x

9、 的分布函数。,减小狭槽的宽度，使 ，,小球落在xx+dx内的概率（或在xx+dx内的小球数目占总球数的百分比）为,显然，,由分布函数还可计算任一物理量（如x）的统计平均值。,（归一化条件）,如平均位置：,表示小球落在x处的概率密度,一、理想气体的微观模型（宏观模型？）,(1)分子线度与分子间距相比较可忽略，分子被看作质点。,(2)除了分子碰撞的瞬间外，忽略分子间的相互作用。,(3)气体分子在运动中遵守经典力学规律，假设碰撞为弹性碰撞。,理想气体分子是自由地无规则地运动着的弹性质点群。,(4)一般情况，忽略分子的重力。,1. 力学假设,5-3 理想气体的压强和温度公式,根据理想气体的运动图像进

10、行的假设,2. 统计假设,(1)平衡态时， 气体分子数密度 n 分布均匀。,(2)平衡态时，相同速率的分子沿各个方向运动的平均分子数相等(或沿各方向运动的概率均等)。,根据理想气体的运动图像进行的假设,二、理想气体压强公式的推导,分子一次撞到A1面上给器壁的冲量为,单位时间内，该分子它们给A1面的总冲量：,考虑其中的一个分子 i ，速度为,设一长方体容器（ l1、 l2 、l3、）内有N个同类气体分子，分子数密度n ，分子质量m0 。,单位时间内，该分子与A1面碰撞的次数为,考虑所有N个分子，单位时间内，它们给A1面的总冲量：,（理想气体的压强）,分子的平均平动动能：,理想气体的压强：,设：分

11、子质量为 m0，气体分子数为N，分子数密度 n。,三、温度的本质和统计意义,玻耳兹曼常量：,（理想气体状态方程）,上式反映了微观量的统计平均值和宏观量之间的关系，指出了温度的统计意义： 温度标志着物体内部分子热运动的剧烈程度，它是大量分子热运动平动动能的统计平均值的量度。,对个别分子，说它有温度是没有意义的。,结论,四、气体分子的方均根速率,方均根速率：,例5-3 试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率 设（1）在温度 t =100 oC 时， （2）在温度 t =0 oC 时， （3）在温度 t = -150 oC 时。,解：,（1）在温度 t =100 oC 时,（3）在温度t = -15

12、0 oC时,（2）同理在温度 t =0 oC 时,（2）氧气分子的质量：,（3）分子平均平动动能：,（1）单位体积内的分子数：,压强不太大，温度不太低，可视为理想气体。,解：,5-4 能量均分定理 理想气体的内能,一、分子的自由度,决定某物体在空间的位置所需要的独立坐标数目。,自由度 ( i )：,做直线运动的质点：,1个自由度,做平面运动的质点：,2个自由度,做空间运动的质点：,3个自由度,质点:,(x, y, z) i=3,运动刚体的自由度：,自由刚体有 6个自由度：,3个平动自由度 (x , y , z ),3个转动自由度 ( ),随质心的平动+绕过质心轴的转动,i = 3个平动自由度

13、+ 2个转动自由度= 5个自由度,刚性细棒：,单原子分子：,多原子分子：,双原子分子：,3个自由度,H2、 O2、 N2等，,5个自由度(看做刚性细棒),He、Ar等，,H2O、CH4等，,6个自由度,刚性气体分子的自由度：,对非刚性的双原子和多原子分子，还须考虑振动自由度（视温度而定），一般而言分子的自由度为3n。,二、能量均分定理,分子的平均平动动能：,分子的平均平动动能 3kT/2 是均匀地分配在每个平动自由度上的, 每个平动自由度都具有相同的平均动能 kT/2 .,推广到分子的转动和振动上，得到能量按自由度均分的统计规律能量均分定理：,在温度为 T 的平衡态下，物质分子的每一个自由度都

14、具有相同的平均动能，其大小都等于kT/2。,分子平均动能：,单原子分子的平均动能：,多原子分子的平均动能：,双原子分子的平均动能：,具体来看：1、不考虑振动(对刚性分子)：,( i ：刚性分子的自由度),t ： 平动自由度，,r ：转动自由度,分子平均总能量（包括动能和势能）：,s ： 振动自由度,若分子,2、考虑振动,由振动的规律我们知道，振动过程中动能与势能的平均值相等，所以，有多少振动动能，就有东少振动势能。,分子平均动能,振动动能,振动势能,三、理想气体的内能,气体的内能：,气体中所有分子的热运动动能和分子间相互作用势能的总和。,理想气体内能：,气体中所有分子的平均动能的总和。,1mo

15、l 理想气体的内能：（只考虑刚性分子）,质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：,一定量的理想气体，其内能只是温度的单值函数。,知识回顾,上节课我们得到了分子速率的一个统计平均值， 方均根速率,但当气体处于平衡状态下，并非所有分子都按 方均根速率运动，他们运动速率各不相同但是 大量分子整体来看，速率分布遵从一定规律,引题：,*一、分子速率的实验测定,令圆盘先后以各种不同的角速度转动，用光度学的方法测量各次在胶片P上所沉积的金属层的厚度，可以比较分布在不同速率间隔内分子数的相对比值。,高真空,5-5 麦克斯韦速率分布律,二、速率分布函数,分子速率分布函数：,物理意义：,分子速率在位于v附近单位速率

16、区间内的分子数占总分子数的百分比(概率密度)。,（概率密度）,归一化条件,分子速率位于vv+dv区间内的分子数占总分子数的百分比(概率)：,知识回顾,由 f (v) 计算与 v 有关的物理量的平均值：,分子平均速率：,分子速率平方的平均值：,速率分布曲线,三、麦克斯韦速率分布律,麦克斯韦指出在平衡状态中气体分子速率分布函数：,麦克斯韦 速率分布曲线,麦克斯韦,最概然速率 vp,平均速率：,平衡态下三个分子速率的统计平均值,利用,方均根速率：,最概然速率：,例5-5 图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，问：（1）哪一条曲线对应的温度高？（2）如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？,解：,(1) T1 T2,(2) 红：氧气,例5-6 求气体分子速率与最可几速率之差不超过1%的分子数占全部分子的百分比。