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1、,第九章,微分方程与 差分方程简介,第一节 微分方程的一般概念,在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.,在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用.,定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.,定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的阶.,未知函
2、数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书中只讨论常微分方程，如下例：,一阶,二阶,一阶,定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解。,微分方程的解的分类：,(1)通解：微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同。,(2)特解：不含任意常数的解。,定解条件：用来确定任意常数的条件。,初始条件：规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值。,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。,初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。,解,例 设曲线通过点(1, 3), 且其上任一点
3、处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。,设曲线方程为,根据题意知,第二节 一阶微分方程,引例,微分方程,两边积分即可。,分离变量，,改写成,两边积分，,通解为,(一)可分离变量的一阶微分方程,(一)可分离变量的一阶微分方程,为微分方程的通解。,两边积分,为可分离变量的方程。,称,则,第二节 一阶微分方程,可分离的微分方程的解法 (1)分离变量 g(y)dyf(x)dx (2)两边同时积分,其中c是任意常数 这就是可分离变量微分方程的通解,解,例,解,可简写为：,例,解,练习,解,例,为所求通解.,解,例,解,例,分离变量，,两边积分,通解为,所求特解为,数学建模,(二)齐次方程,的微
4、分方程称为齐次方程。,形如,例如,可化为,可化为,齐次方程的解法,例,解,此题不能分离变量,是齐次方程,例,解,原方程变形为,练习,解,是齐次方程,原方程变形为,(三)一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上述方程称为齐次的.,上述方程称为非齐次的.,例如,线性的, 非齐次,非线性的.,齐次方程的通解为,1、线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法：,使用分离变量法,2、线性非齐次方程,常数变易法：,作变换,积分得,所以原方程的通解为:,解,例,通解为,解,例,通解为,解,方程改写为,所以所求解为,一阶线性方程，,例,解,这是一阶线性微分方程，通解为,练习,解,例,数学建模-价格调整模型
5、,设某商品的价格主要取决于市场供求关系，或者说供给量S与需求量D只与该商品的价格p有关。设,其中 k 为正的常数，用来反映价格的调整速度。,于是上述价格调整模型的解为,第三节 几种二阶微分方程,(一)最简单的二阶微分方程,解,例,解法：两边积分两次即可。,形如,积分一次得,再积分一次，得通解为,(二),一阶微分方程,解,例,解,练习,这是一阶线性微分方程，通解为,所以原方程通解为,(三),把 y 视为自变量,解,例,代入原方程,得,积分得通解为,积分得通解为,本题还可用下面的简单解法：,解,例,解,练习,代入原方程,得,第四节 二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性齐次微分方程,其中 p, q
6、 是常数.,二阶常系数线性非齐次微分方程,(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法,1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,证,所以,2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。,证,所以,(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法,1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,也是(1)的解，,(称线性无关),则上式为(1)的通解.,定理1,2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。,(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法,1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,代数方程(3)称为微分方程(1)的特征方程，,它的根称为特征根.,情形1,则特征方程(
7、3)有两个相异的实根,故它们线性无关,因此(1)的通解为,情形2,则特征方程(3)有两个相等的实根,于是(1)的通解为,由欧拉公式 知，,情形3,则特征方程(3)有一对共轭复根,仍然是(1)的解,且线性无关,所以方程(1)的通解为,由叠加原理,二阶常系数线性齐次微分方程的解法：,特征方程,特征根的情况,通解的表达式,解,特征方程为,故所求通解为,例,例,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,解,特征方程为,故通解为,例,特征根为,训练：求下列微分方程的通解,解,解,方程通解为,特征方程,特征根,解,通解为,通解为,(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法,1、方程(2)的任意两个解
8、的差是(1)的解；,证,所以,2、方程(1)的一个解加上方程(2)的一个解是(2)的解.,证,所以,(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法,对应齐次方程,定理2,那么方程(2)的通解为,问题归结为求方程(2)的一个特解。,只讨论 f (x)的两种类型。,用待定系数法求解。,二阶常系数非齐次线性方程的解法：,则,情形1,若 不是特征根,即,情形2,若 是特征方程的单根,即,情形3,若是特征方程的二重根,即,综上讨论,设特解为,其中,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例,代入原方程,得,设特解为,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,练习,代入原方程,得,设特解为,例,解,解,对应齐
9、次方程通解,特征方程,特征根,例,代入原方程, 得,所以设特解为,注意：,现即,即得,这样比代入原方程要简便得多。,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例,所以设特解为,训练：求下列微分方程的通解,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程, 得,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程, 得,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程, 得,可以证明，方程 (2) 具有如下形式的特解：,解,例,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,解,例,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,训练,解,对应齐次方程的通解为,所
10、以设特解为,第五节 差分方程的一般概念,微分方程刻划了自变量 x 是连续变化的过程中变量 y 的变化率，在现代科学技术和经济领域中，有些自变量往往不是连续变化的，而是取一系列离散的值,例如按年、月、日等，此时要描述这种自变量是离散的变化关系就是本节要介绍的差分方程。,显然微分方程和差分方程是两类不同的方程，但它们有许多共同点，因此与微分方程对照，采用类比的方法是学习差分方程有效的方法。,(一) 差分概念,一阶差分：,三阶差分：,一般地，k 阶差分定义为,例1,(二) 差分方程的一般概念,定义,差分方程的解：,定义 若一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解。,若差分方程
11、的解中含有相互独立的任意常数且个数恰好等于差分方程的阶数，则称该解为差分方程的通解。,差分方程满足初始条件的解称为该问题的特解。,第六节 一阶和二阶常系数线性差分方程,(一)一阶常系数线性差分方程,标准形式,时有定义。,为一阶常系数齐次线性差分方程，,否则，称为一阶常系数非齐次线性差分方程。,(1),(2),(2)称为(1)对应的齐次线性差分方程。,(1),(2),不难证明，(2)的通解为,C为任意常数.,可以证明,一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即有,定理(一阶常系数线性差分方程通解的结构),一阶常系数线性差分方程(1)的通解可表示为,当 f(x)是多项式、指数函
12、数、正弦函数、余弦函数以及它们的和差或乘积时，一般可用待定系数法求(2)的一个特解.,讨论三种情形：,情形1,情形2,情形3,例1,的通解.,解,代入方程得,得特解为,从而通解为,C为任意常数.,代入方程得,例2,的通解.,解,没有这样的特解。,例2,的通解.,解,代入方程得,得特解为,系数 a 的取值,代入方程得,例3,解,得特解为,从而通解为,C为任意常数.,代入方程得,不存在这样的特解。,例4,解,代入方程得,例4,解,得特解为,d 与系数 a 的关系,代入方程得,例5,解,得特解为,如果所给差分方程不是标准形式的，必须首先把它化为标准形式才能应用上面给出的通解公式和选取特解的有关结论.
13、,(二) 二阶常系数线性差分方程,标准形式,时有定义.,为二阶常系数齐次线性差分方程，,否则，称为二阶常系数非齐次线性差分方程.,(1),(2),(2)称为(1)对应的齐次线性差分方程.,二阶常系数齐次差分线性方程解的性质,1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；,2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；,也是(2)的解.,(称线性无关),则上式为(2)的通解.,定理1,(2),对应齐次方程,二阶常系数非齐次线性差分方程解的性质,1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；,2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 。,定理2,那么方程(1)的通解为,(
14、1),(2),二阶常系数齐次线性差分方程的解法,代数方程(3)称为差分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).,(3),(2),故它们线性无关,因此(2)的通解为,(3),情形1,情形2,则特征方程(3)有两个相等的实根,于是(2)的通解为,情形3,可以证明,是(2)的解，,且线性无关，,所以方程(2)的通解为,则特征方程(3)有一对共轭复根,其中,小结,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,解,特征方程为,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,解,特征方程为,故所求通解为,例3,二阶常系数非齐次线性差分方程的解法,(1),对应齐次方程,那么方程(1)的通解为,(2),问题归结为求方程(1)的一个特解。,用待定系数法求解。,解,已求出对应齐次方程的通解为,故原方程通解为,例4,代入原差分方程得,解,已求出对应齐次方程的通解为,故原方程通解为,例5,代入原差分方程得,解,所以对应齐次方程的通解为,故原方程通解为,例6,代入原差分方程得,特征方程为,特征根为,解,所以对应齐次方程的通解为,故原方程通解为,例7,代入原差分方程得,特征方程为,特征根为,END,END,
