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1、 第六章 定积分应用测试题A卷一、填空题（20分）1、定积分表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程是 .2、设一放射性物质的质量为，其衰变速度，则从时刻到此物质分解的质量用定积分表示为 .3、抛物线与轴所围成图形的面积 .4、由极坐标方程所确定的曲线及所围扇形的面积为 .二、选择题（20分）1、曲线及轴所围图形的面积，则 （A）; （B）;（C）; （D）.2、曲线下方与该曲线过原点的切线左方及轴右方所围成的图形面积 .（A）; （B）;（C）; （D）.3、曲线上一段弧长 .（A）; （B）;（C）; （D）.4、矩形闸门宽米，高米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力 .（A）;
2、（B）;（C）; （D）.三、解答题1、（10分）求曲线与纵轴所围成图形的面积.2、（10分）求由圆绕轴旋转而成的环体的体积.3、（10分）试证曲线的弧长等于椭圆的周长.XA1Y图6.254、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功？5、（20分）设直线与抛物线所围成图形的面积为，它们与直线所围成的图形面积为.并且.如图6.25.（1） 试确定的值，使达到最小，并求出最小值；（2） 求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 第六章 定积分应用测试题B卷一、填空题（20分）1、求曲线所围图形面积（上半平面部分），则 .2、曲线所围图形面
3、积 .3、求曲线从到一段弧长 .4、曲线所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积 .二、选择题（20分）1、曲线所围图形的面积为，则 （A）; （B）;（C）; （D）.2、摆线一拱与轴所围成的图形绕轴旋转的旋转体体积 （A）; （B）;（C）; （D）.3、星形线的全长 （A）; （B）;（C）; （D）.4、半径为的半球形容器，每秒灌水，水深，则水面上升速度是 （A）; （B）;（C）; （D）.三、解答题1、（13分）由两条抛物线所围成的图形.（1）计算所围成图形的面积；（2）将此图形绕轴旋转，计算旋转体的体积.2、（15分）由曲线，直线及轴所围图形记作，（1）求绕轴旋转所得旋转体的体积
4、；（2）求绕直线旋转所得旋转体的体积；（3）求以为底且每个与轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积.3、（12分）曲线与轴在第一象限内所围图形记作，试在曲线上求一点，使直线把分成面积相等的两部分.4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为的半椭圆，短轴为其上沿，上沿与水面平行，且位于水下处，试求观察窗所受的水压力. 5.(10分)求曲线，所围成的平面图形的面积S，并求 该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。综合测试题A卷答案一、填空题1、上半圆，直线和直线； 2、； 3、；4、.二、选择题1、C; 2、A; 3、B； 4、A.三、解答题1、先求交点，令得，故，及曲线与纵轴交
5、点为.又，所以.2、因为而，所求环体体积是由半圆与半圆绕轴旋转生成的旋转体体积之差，即.3、因为椭圆方程为，即，则其参数方程为，由椭圆关于轴的对称性，所以周长.而曲线的弧长 .故.4、将球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其数值等于球露出水面部分的体积：其中为球心向上移动距离（），故将球从水中取出所作的功为.5、解（1）当时（如图一） .令 ，得，又则是极小值及最小值.其值为 当时，单调减少，故时，取得最小值，此时.综合上述，当时，为所求最小值，最小值为. (2) .综合测试题B卷答案一、填空题1、； 2、；3、；4、.二、选择题1、C; 2、B; 3、B； 4、D三、解答题1、（1）.（2）2、（1）绕轴旋转所得旋转体的体积（2）绕直线旋转所得旋转体的体积（3）以为底且与轴垂直呈等边三角形的的立体的平行截面的面积为因此平行截面的面积为的立体体积.3、设为曲线上一点，则截下部分的曲边扇形面积的面积 . B y A X图6.26由条件，即得，所以.对应的，故点的极坐标为. 4、 建立如图6.26所示的坐标系椭圆方程为，则令，则.其中为水的密度，g为重力加速度.5.解：所求面积，(图6.27)。图6.27 。 平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积 ， 平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积 ， 故所求旋转体的体积。解法2：（薄壳法） 。
