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1、第二部分 高考题型解法训练,专题七 立体几何解答题的解法,试题特点,专题七 立体几何解答题的解法,1.近三年高考各试卷立体几何考查情况统计 立体几何在每一年高考中都有一个解答题,这是不变的,主要考查空间位置关系(线线、线面及面面的平行与垂直)及空间量(线线角、线面角、面面角、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离),一般以三棱柱、四棱柱、三棱 锥、四棱锥作为考查的载体,当然,也有不规则几何体,如 2006湖南卷的八面体,2007江西卷的不规则体.,试题特点,专题七 立体几何解答题的解法,2.主要特点 (1)解答题的考查稳中求新,稳中求活. 解答题在考查中经常涉及的知识及题型有:证明“
2、平行”和 “垂直”,求多面体的体积,三种角的计算,有关距离的 计算,多面体表面积的计算.这类问题的解法主要是化归思 想,如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角,面 面距离转化为线面距离,再转化为点面距离等.但近几年来, 也推出了一些新题型,就是开放性试题,也是探索性的问题, 如2000年的第18题.,试题特点,专题七 立体几何解答题的解法,(2)依托知识,考查能力. 由于近几年加强了对能力的考查,因此应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养,因高考数学是通过知识考能力,本章尤其突出的是空间想象能力,而空间想象能力并不是漫无边际的胡想,而应以题设为根据,以某一几何体为依托,这
3、样会更好的帮助你解决实际问题,提高解题能力. (3)一题两法,支持新课程改革. 立体几何解答题的设计,注意了求解方法既可用向量方法处理,又可用传统的几何方法解决,并且向量方法比用传统方法解决较为简单,对中学数学教学有良好的导向作用,符合数学教材改革的要求,有力地支持了新课程的改革.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,1.平行、垂直位置关系的论证 证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点: (1)理清平行、垂直位置关系的相互转化,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,(2)由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻 找证题思路. (3)立体
4、几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅 助线(或面)是解题的常用方法之一. (4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明 线线垂直时应优先考虑,应用时需要先认清所观察的平面 及它的垂线,从而明确斜线、射影、面内直线的位置,再根 据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过 计算证明线线垂直也是常用方法之一.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,2.空间角的计算 主要步骤:一作、二证、三算;若用向量,那就是一证、二算. (1)两条异面直线所成的角 平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一 条直线的平行线,常
5、常利用中位线或成比例线段引平行线. 补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方 体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面 直线间的关系. 向量法:直接利用向量的数量积公式cos= (注意向量的方向).,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,(2)直线和平面所成的角 作出直线和平面所成的角,关键是作垂线,找射影转化到 同一三角形中计算,或用向量计算. 用公式计算sin= (PM 直线l,M面,是l与 所成的角,n 是面的法向量). (3)二面角 平面角的作法: ()定义法; ()三垂线定理及其逆定理法; ()垂面法.,应试策略,专题七
6、 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,平面角计算法: ()找到平面角,然后在三角形中计算(解三角形)或用向量 计算; ()射影面积法:cos= ; ()向量夹角公式:|cos|= ,n1,n2是两面的法向量. (是锐角还是钝角,注意图形和题意取舍). *求平面的法向量:找;求:设a,b为平面内的任意两个 向量,n=(x,y,1)为的法向量, 则由方程组 ,可求得法向量n.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,3.空间距离的计算 (1)两点间距离公
7、式(线段的长度) |AB|= (A(xA,yA,zA),B(xB,yB,zB)) (2)求点到直线的距离,经常应用三垂线定理作出点到直线的垂 线,然后在相关的三角形中求解,也可以借助于面积相等求出点 到直线的距离.(可用向量法来计算),应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,(3)求两条异面直线间距离,一般先找出其公垂线,然后求其 公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下,可转化为 线面距离求解(这种情形高考不作要求). (4)求点到平面的距离,一般找出(或作出)过此点与已
8、知平 面垂直的平面,利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂 线,进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离; 有时直接利用已知点求距离比较困难时,我们可以把点到 平面的距离转化为直线到平面的距离,从而“转移”到另一 点上去求“点到平面的距离”.求直线与平面的距离及平面与 平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解.(向量 法: (N为P在面内的射影,M,n是面的 法向量).,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,1.(2007南通市模拟题)如图,已知矩形 ABCD, PA
9、平面ABCD,M、N分别是AB、 PC的中点,设 AB=a,BC=b,PA=c (1)建立适当的空间直角坐标系,写出A、 B、M、N点的坐标,并证明MNAB; (2)平面PDC和平面ABCD所成的二面角为 ,当为何值时(与a、b、c无关), MN是直线AB和PC的公垂线段.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解析 (1)证明:以A为原点,分别以AB、 AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立空间 直角坐标系.则A(0,0,0), B(a,0,0),M( ,0,0), N( ,
10、 , ). =(a,0,0), =(0, , ). =0 ABMN.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,(2)P(0,0,c),C(a,b,0), =(a,b,c), 若MN是PC、AB的公垂线段,则 =0,,即 =0 b=c. PDA是二面角PCDA的平面角. PDA=45, 即二面角PCDA是45.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,点评 在
11、高考立体几何题中,利用向量法解题,正确建立空间 直角坐标系是解题的前提,同时也要熟悉向量法处理这 些问题的方法.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,2.(2007东北三校质检题)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB上的动点. (1)证明D1EA1D; (2)若二面角D1ECD为45时,求EB的长.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题
12、剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解析解法1:(1)证明:对长方体ABCDA1B1C1D1, 有AB平面AA1D1D, A1D 平面AA1D1D, ABA1D 由侧面AA1D1D是矩形且AD=AA1=1, A1DAD1, AD1AB=A, A1D平面ABD1, 又D1E 平面ABD1 D1EA1D,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,(2)过D作DGEC,垂足为G,连结D1G 对长方体ABCDA1B1C1D1,有D1D平面ABCD 根据三垂线定理有D1GEC, D1GD
13、是二面角D1ECD的平面角 二面角D1ECD为45,则D1GD=45, 又D1D=A1A=1 DG=1 在矩形ABCD中AB=2,AD=1 由SDEC= ECDG=1得EC=2, EB= =,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解法2:(1)证明:对长方体ABCDA1B1C1D1, 以D为坐标原点,AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立 空间直角坐标系(如图所示). 由AD=AA1=1,AB=2, 点E是棱AB上的动点,设BE=m. D(0,0,0),D1(0,0,
14、1) A1(1,0,1),E(1,2m,0), C(0,2,0) (1) =(1,2m,1), =(1,0,1), = 1+1=0 ,即D1EA1D,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,(2)D1D平面ABCD, 平面ABCD的法向量 =(0,0,1) 设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z), 由n 得n =0 又 =(0,2,1)2yz=0 又 =(1,2m,1), x+(2m)yz=0 取y=1,z=2,x=m n=(m,1,2) 二面角D1ECD为45 n=|
15、|n|cos45 即2= , 解得m= ,即EB=,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,点评 本题第1问事实上是考查三垂线定理,当然也可用线 面垂直来证,在第二问的处理中,如果用非向量的方法, 画分图是一个常用的方法,这样由于空间位置关系的失真 可以避免出错.画分图就是将空间图形中的某一个平面画 出来,然后用平面几何的相关知识来求边与角的信息.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,3.(2007岳阳市模拟题)如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点, (1)求证:ACBC1; (2)求证:AC 1平面CDB1.,证明解法1: (1)直三棱柱