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1、必修4 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例,1.平面几何中的向量方法,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。,平面几何图像的许多性质如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题,充分利用向量这个工具来解决,引言,例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,猜想：,矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,结论：,矩形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。,探索： 平行四边形 中，以
2、上关系是否依然成立？,例1、证明平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。,已知：平行四边形ABCD。 求证：,解：设 ，则,结 论： 平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；,用向量方法解决平面几何问题的一般步骤：,形到向量,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、平行、垂直等问题；,（3）把运算结果“翻译”成几何关系。,例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC
3、交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？,猜想： AR=RT=TC,解：设 则,因为 所以,又因为 共线， 所以设,由于 与 共线，所以设,不共线，,故AT=RT=TC,练习:用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。,已知:如图，AC为O的一条直径，ABC是圆周角 求证： ABC=90,利用向量的数量积 可解决长度、角度、垂 直等问题,情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?,情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什么关系?,两力的夹角越小越省力,两臂的夹角越小,手臂就越省力,2、向量在物理中的应用举例,例3.在日常生活中,你是否有这样
4、的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？,分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：,用向量F1 ,F2表示两个提力,它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示， F1，F2的夹角为，如右图所示，只要分清F，G和三者的关系，就得到了问题得数学解释！,解：不妨设 ,由向量的 平行四边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识,通过上面的式子，知当由0到180逐渐变大时， 由0到90逐渐变大， 的值由大逐渐变小.,可以知道：,即 之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力！,由小逐渐变大.,（1）为何值时，
5、最小，最小值是多少？,（2） 能等于 吗？为什么？,答：在上式中，当 =0时， 最大， 最小且等于,答：在上式中，当 即=120时，,探究一,（3）生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.绳子的最大拉力为 ,物体重量为 ,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角的关系？,探究二,探究三,(4)如果绳子的最大承受力为 在什么范围内,绳子才不会断？,从而可知，当 时绳子不会断。,向量在物理中的应用一般步骤：,（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.,（2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.,（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.,向量在物理中的应用（三
6、步曲）：,如图所示，用两条成120的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是_.,120,10N,练一练,例4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度 ,水流速度 问行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min),A,B,答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。,解：如图，由已知条件得,（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题. （3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.,1.向量在几何中的应用（三步曲）：,2.向量在物理中的应用（三步曲）：,形到向量,小结与作业,
