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1、1.5.2 刚体的运动方程 刚体：6个自由度 自由度数目减少 例子：绕固定点的转动3个自由度； 定轴转动1个自由度。 在有约束的情况下：关心刚体本身的运动+约束反力 但：由拉格朗日方程不容易得到约束反力 (以前仅讨论理想约束) 办法：回到牛顿表述,一、动量定理 定点转动角动量定理 刚体：特殊的质点组 考察刚体整体运动 R0：质心在静止系中的矢径。 对第a个质点： 其中 ra ：以质心为原点的运动坐标系的矢径。,因为 所以 作和,其中 对固定点o的总角动量 对固定点o的总力矩 对固定点的角动量定理,以质心为坐标原点时 (仍在惯性系中) ，有 对上式作和,又 则,令 则 对质心的角动量定理 描述刚
2、体的运动方程组为,二、刚体的静平衡 平衡时 平衡方程 例题：见p88 例1 三、刚体的动平衡 (见p88，略),四、刚体绕定点的自由运动 刚体绕定点的自由运动：不受外力或外力通过固定点 (例子：地球的公转、分子的转动) 此时 有 (外力为零时。质心：匀速运动) (绕质心的转动，且角动量守恒) 设 e1、 e2、 e3 为三个惯量主轴方向，I1、 I2、 I3 为 沿这三个主轴的转动惯量，则,讨论： 1. I1 = I2 = I3 球对称陀螺(任意选取三个相互垂 直的轴作惯量主轴) 此时： 2. I1 = I2 = I ，I3 = 0 转子 即：L在 x1 x2 平面内，ox3 。,3. I1
3、= I2 I3 对称陀螺 (I1 I2 I3 ：不对称陀螺) (例：扁平均匀球体的地球就是一个对称陀螺) 此时：平面x1 x2 内的任一轴都是主轴。选ox3 轴在屏幕所在平面(ox3垂直 x1 x2平面)，同时取L 也在屏幕平面。 将 分解到 x3和L 的方向上，分别称为 和 ， 并设它们之间的夹角为 ，显然有,在同一平面ox1x3,另取 ox2 L L2 = 0,L在 ox1 x3 平面内，L与ox3的夹角： L与ox1的夹角： L在ox1轴的投影： 由图： 在ox1上的分量相等 ( 在ox1轴无分量) 则,又 不变 (对做自由运动的对称陀螺，可由后面 的欧拉动力学方程证明此结果，见PPT：
4、p29) L与ox3 轴的夹角不变 规则进动：对于对称陀螺自由转动，有 绕 ox3转动 + ox3 轴绕空间固定轴(L轴)进动， 且ox3与L之间的夹角 保持不变(见前面图3) 。,五、欧勒运动学方程 对称陀螺的基本运动有 (1)刚体绕对称轴的自转； (2)自转轴绕空间固定轴的进动(precession)； (3)自转轴和固定轴间夹角的章动(nutation)。 用欧勒角描述这三种运动： 设：o固定点；oz：固定轴 ：刚体绕固定轴oz转过的角度进动角； ：进动角速度沿oz方向； ：刚体绕ox3 转过的角度自转角；,：自转角速度沿ox3方向； ：ox3和oz间的夹角章动角； ：章动角速度沿oN方
5、向。,当 时， 当 时， 所以oM、oM、oz、ox3 在同一平面 ，且有 oM 在水平面，oM 在 平面,1 在x1 x2平面，它在 x1、x2 、x3 的分量 。 由图4，有 2 在 ox3 上的投影为： 在 oM 上的投影为： 而 ox1、ox2、oM 又在同一平面，再把沿 oM 上的 在 ox1、ox2 轴上进行分解，有 这样 在 ox1、ox2的分量为,3 沿 ox3 方向。 于是 在动坐标系 ox1、ox2、ox3 的分量为 若：已知 则：可计算,六、欧勒动力学方程 刚体的运动方程为 而 中 不是常数，这样要得到M与 的 关系很困难。 办法：建立运动坐标系坐标轴沿三个惯量主 轴方向
6、 此时：,设：矢量A， ：相对静止坐标系的改变量 若：A相对于运动坐标系不变，则 仅仅是由于运动 坐标系转动而引起的，故 一般情况：A 相对于运动坐标系改变，说明如下。 设：K、K分别为静止坐标系和运动坐标系，如图。,现在 K、K系中分别求矢量 A(t) 随时间的变化率。 i、j、k ： K系中的单位常矢量 i、j、k ： 对 K系不是常矢量，即 在 K中对矢量 A(t) =Ax(t) i(t) + Ay(t) j(t) + Az(t) k(t) 求导，得,：A在运动坐标系中的改变 令 A=L ，得 又 所以,对运动坐标系，有 而,欧勒动力学方程,应用欧勒动力学方程的例子：对称陀螺的自由运动
7、当对称陀螺做自由运动时，根据欧勒动力学方程，有,得到,于是，有,1.5.3 非惯性系中的运动 若：将参考系固连在刚体上，只要刚体不是作匀速直 线运动，这一参考系为非惯性系。 设：K0系惯性系，K系相对K0系的速度为V(t) K系相对K系的角速度为 则：K系非惯性系 要做的事：在K系中建立运动方程 设：矢量A， A在 K系中的导数，则,令V0：质点对K0系的速度； v ：质点对K系的速度； v：质点对K系的速度； V：K系对K0系的速度。 则,上式右边各项再对时间求导，有,其中,惯性系中，有 非惯性系中的运动方程 f ：外力 ：平动加速度产生的惯性力 ：角加速度产生的惯性力 ：科里奥利力 ：惯性
8、离心力 :,北半球上的科里奥利力：无论物体向哪个方向运动，科里奥利力总是指向物体行进方向的右侧，这可以解释为什么在北半球河流右岸被冲刷得比较严重。,赤道附近的信风(tradewind) ： 在赤道两边的低层大气中，北半球吹东北风，南半球吹东南风，这种风的方向很少改变，它们年年如此，稳定出现，很讲信用。,1851年傅科在巴黎（北半球）的一个大厅里悬挂摆长 67 米的摆。发现摆动平面每小时沿顺时针方向转过1115角度, 直接证明了地球在自转。,在地面系看：地球不转，摆面转;,在恒星系看：地球转，摆面不转。,傅科摆实验是第一次用地球上的现象证实了 地球自转的存在。在一个作匀速直线运动系统中 的观察者，不能通过内部实验证明自身是否有速 度存在。但在匀角速度系统中则不一样，可以通 过其内部的实验求出它的自转角速度。实验表明 日月星辰的起落是由于地球在自转，而不是星体 在环绕地球转。,北半球，落体偏东,(设：真实力只有重力),自由落体的初始条件： 对动力学方程的第一式、第三式积分，有,将上两式代入动力学方程的第二项，并略去含2的项，则,由此，得到,轨道方程为,物体落到地面时，z =0，东偏距离为,当=0，东偏距离最大。若 h =200，y 0.06 m。,
