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1、 JISHOUUNIVERSITY本 科 生 毕 业 论 文题 目： 分块矩阵和矩阵分解在行列式计算中的应用作 者：学 号： 20084041006所属学院：专业年级：指导教师：职 称：副教授完成时间： 2012年 5月 15日 吉首大学本科生毕业论文 I独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。论文题目： 分块矩阵和矩阵分解在行列式计算中的应用 作者签名：
2、 日期： 年 月 日 论文版权使用授权书本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)论文题目： 分块矩阵和矩阵分解在行列式计算中的应用 学生签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日 吉首大学本科生毕业论文 II目 录1 引言 .12 主要方法的 证明及应用 .22.1 分块矩阵的 行列式 .22.2 矩阵乘积的行列式 .7 吉首大学本科生毕业论文
3、0分块矩阵和矩阵分解在行列式计算中的应用杨三毛(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)摘 要：主要研究了分块矩阵以及矩阵的乘积在行列式计算中的应用。利用分块矩阵及矩阵乘积的行列式公式，也能较为简捷地求出某些行列式的值。关键词：分块矩阵；矩阵乘积的行列式；行列式The application of block matrix and matrix decompositionYang Sanmao(College of Mathematics and Statistics Science,Jishou Univ,Jishou Hunan,416000)Abstract: The rese
4、arch focus on the usage of block matrix and the multiplication of matrix in calculating the determinant.Application of block matrix and the determinant of matrix product form,can be convenient to calculate some of value of determinant.Key words: block matrix; the determinant of matrix multiplication
5、; determinant1 引言先介绍了相关的研究问题及国内外人士对本课题做的一些研究；再分别对问题进行研究讨论：对分块矩阵的行列式进行研究.通过定理以及实际例题对此方法进行研究.关于行列式的计算有很多种方法，比如可以通过对其进行初等变换化为三角行列式进行计算，也可以通过寻找递推关系进行计算.而利用分块矩阵及矩阵乘积的行列式公式，也能较为简捷地求出某些行列式的值. 吉首大学本科生毕业论文 12 主要方法的证明及应用2.1 分块矩阵的行列式引理 1 若 ,这里 A， 均为方阵，则 ；120A12 12A又若 ，也有 .1212定理 1 设 是 n 阶方阵，其中 A,B,C,D 分别为ABPCD
6、阶矩阵， ,(),()rnrrr（1） 若 A 可逆，则 ；1ACB（2） 若 D 可逆，则 .P证明 （1）若 A 可逆，利用分块矩阵的乘法有， BCADECAEB111 00 由于 ，故两边取行列式，得 ，11CA 10即 .1BPDB（2）若 D 可逆，利用分块矩阵的乘法有 1 11000AEEABDCC 由于 ，故两边取行列式，得 ，110B 10ABD即 .1APDCC定理的结论对于部分 n 阶行列式的计算是非常有用的. 吉首大学本科生毕业论文 2例 1 计算 2n 阶行列式 的值，其中 .20.0.0.0.nabPba 0a解：令 =D, ,则 ，从而可逆，0.aA 0.bBC 0
7、nAa且，110.aAa 所以 1PDCB= 110000nabbaa = .2121 2122100()()n nnnabaababb 例 2 计算 ，其中 .01200naPa 0,(12,)i n 吉首大学本科生毕业论文 3解：首先对 P 进行分块，令则 ，120 0(),(1), naAaBCDa 12(0)nPa即 D 是可逆的，且 1210naDa 所以 11 220 10()1n nPDABCa a .1120()nia例 3 计算 ，其中 .122100nnxPxaa 0x解：令 12100, ,()10nxABCaaDxx 则有 ，也就是说 A 可逆，且1()nx 吉首大学本
8、科生毕业论文 4211 201nxxAx 所以 2111 21 00()()1nnnnxxPADCBxaax .1 1212 12n nnn naaxxaax 例 4 设 计算 .1212120,nnnaaD 1121212nnnnxxaaP 解：对 进行适当变形，将 添加一行一列，其值不变，得PP1nP12 21 1112 21 2112 120(),23,n nn innn nnxxxxaaaarixx 令 ，1112(), ),nnnaABxxCD 吉首大学本科生毕业论文 5则 ，即 D 可逆，且 （其中 表示 D 的伴随阵）110nnaD 1*D*.设 为 中元素 在 中的代数余子式，
9、则ijAija1212*12nnnAD 1 112()nPABCxxD 112121212121()()n nnnnnjijDxxAxxDA 特别地，当 时， .(,2)jx 1nijjPDxA例 5 证明：如果 是正定二次型，那么1()nijijjiiax是负定二次型.2111221221(,) 0nnnnnyfyaayy 吉首大学本科生毕业论文 6证明：设正定二次型 的矩阵为 A,1()nijijjiiax11nnaA 则 A 为实对称矩阵，于是存在可逆矩阵 C，使得 ，取E，运用分块矩阵，可以把 看做方阵10CYT 1,2()nfy 0Y经过计算得 ， 1100AECTYYAYA两端取行
10、列式， ，注意到 ， 正定，所以21,()nfy 0C是负定二次型.12(,)nfyA2.2 矩阵乘积的行列式定理 2 设有 n 阶方阵 ,那么这两个方阵的乘积的行列式等于行,()nABMk列式 的乘积，即 .例 6 ，1213112 2233 3123cos()cos()cos()cos()s()cos()cos()1nnnnnD 计算 .n解：显然 12222 11212cos()cos()sin()cos()D当 n 2 时，此行列式对应的矩阵得 吉首大学本科生毕业论文 71213112 2233 312322cos()cos()cos()cos()s()cos()cos()1coin0si nn nnnnD 12cosiii00n 由矩阵乘积的行列式公式 ，得AB1213112 2233 31231222cos()cos()cos()cos()s()cos()cos()1coscoin0insi nn nnnnD ii0 0.例 7 设 ，12 2,01,2kknijijSxxaS ,1,.ijn证明 .()ij
