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1、针对性训练专题资料（抛物线综合复习）命题组：高三数学教研组 班级： 姓名： 【高考要求】 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j【知识点归纳】1头htp:/w.xjkygcom126t:/.j抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线注：圆锥曲线统一定义：平面内与一定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹，当 0 e1时，表示椭圆；当 e=1 时，表示抛物线；当 e1 时，表示双曲线 头htp:/w.xjkygcom12
2、6t:/.j2头htp:/w.xjkygcom126t:/.j抛物线标准方程的四种形式：设 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：0pxy2xy2pyx2图形 O O x焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry, Ry, ,x,Rx对称轴 轴 轴顶点 （0，0）离心率 1e焦半径 12xpPF2xpPF12ypPF12ypPF3头htp:/w.xjkygcom126t:/.j抛物线 的图像和性质：(1)焦点坐标是： ，(2) 准线方程是： 。0， (3)顶点是焦点向准线所作垂线段中点，顶点平分焦点到准线的垂线段：。2OFK(4)焦准距： p(5)焦
3、半径公式：若点 是抛物线 上一点，),(0yxPpx2则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，02Px(6)焦点弦长公式：过焦点弦长 1212pQxxp(7)通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。这是过焦点的所有弦中最短的(8)焦半径为半径的圆：以 P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点 F、准线是公切线。(9)焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。M1 QM2K FPoyxCNM1 QM2K FPo(10)焦点弦为直径的圆：以焦点弦 PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线
4、是准线。(11)抛物线 上的动点可设为 P 或 或 Ppxy2),2(yp2(,)tppxyx2),(中4头htp:/w.xjkygcom126t:/.j一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征k0 时开口向右y2=kxk0 时开口向上x2=kyk0 时开口向下(0,k/4) y= k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线 y= k/4 的距离【题型讲解】例 1 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A（3，2） ，求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标.解 将 x=3 代入抛物线方程y2=2x，得 y= .6 2，A 在抛物线
5、内部.6设抛物线上点 P 到准线 l：x=- 的距离为 d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，21当 PAl 时，|PA|+d 最小，最小值为 ，即|PA|+|PF|的最小值为 ，277此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2=2x，得 x=2，点 P 坐标为（2，2）.例 2 已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点 A（m,-3）到焦点 F 的距离为 5，求 m 的值，并写出此抛物线的方程.解 若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为 x2=-2py(p0)，这时准线方程为 y= ,2p由抛物线定义知 -(-3)=5,解得 p=4,抛物线方程为 x2=-8y,这时将点 A
6、（m,-3）代入方程，得 m=2 .6若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为 y2=2ax (a0)，从 p=|a|知准线方程可统一成 x=-的形式，于是从题设有 ，2a925a解此方程组可得四组解, , ， .291m213m214y 2=2x,m= ；y 2=-2x,m=- ；9y2=18x,m= ；y 2=-18x,m=- .11例 3 （2008山东理，22 改编）(16 分)如图所示,设抛物线方程为 x2=2py (p0),M 为直线 y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B.(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当 M 点的坐标为
7、(2,-2p)时,|AB|=4 .求此时抛物线的方程.10(1)证明 由题意设 A ,B ,x1x 2,px212M .px2,0由 x2=2py 得 y= ,则 y= ,xx所以 kMA= ,kMB= . 2 分p12因此,直线 MA 的方程为 y+2p= (x-x0),1直线 MB 的方程为 y+2p= (x-x0).2所以, +2 p = (x1-x0), x21+2 p = (x2-x0). 5 分由、得 = ，10x因此，x 0= ，即 2x0= .21所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. 8 分（2）解 由（1）知，当 x0=2 时，将其代入、，并整理得：x -4x1-4p2
8、=0，x -4x2-4 p 2=0，所以，x 1、x 2是方程 x2-4x-4 p 2=0 的两根， 10 分因此，x 1+x2=4，x 1x2=-4 p 2，又 kAB= = = ，12p0所以 kAB= . 12 分由弦长公式得|AB|= 2121214)(xx= .4p6又|AB|=4 ，所以 p=1 或 p=2，0因此所求抛物线方程为 x2=2y 或 x2=4y. 16 分【练习与测试】一、填空题1.若点 P 到点 F（0，2）的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2，则 P 的轨迹方程为 .答案 x 2=8y2.设 F 为抛物线 y2=ax (a0)的焦点，点 P 在抛物线上，且其
9、到 y 轴的距离与到点 F 的距离之比为12，则|PF|= .答案 a3.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A 的坐标是 ，则|PA|+|PM|的最4,27小值是 .答案 294.已知抛物线 y2=4x,过焦点的弦 AB 被焦点分成长为 m、n（mn)的两段，那么 m+n 与 mn 的大小关系是 .答案 相等5.设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 = .OAB答案 - 436.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点.若 + + =0,则| |+| |+| |= .FCFBC答案
10、67.（2008全国理，15）已知 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线 C 于 A、B两点.设|FA|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于 .答案 3+2 28.（2008江西理，15）过抛物线 x2=2py（p0）的焦点 F 作倾斜角为 30的直线,与抛物线分别交于A、B 两点（点 A 在 y 轴左侧） ，则 = .FBA答案 31二、解答题9.已知抛物线 y2=2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为 2 ，一直角边的方程13是 y=2x,求抛物线的方程.解 因为一直角边的方程是 y=2x,所以另一直角边的方程是 y=- x.
11、21由 ，解得 ,或 （舍去） ， pxy2py0由 ,解得 ,或 （舍去）,xy1248yx三角形的另两个顶点为 和（8 p,-4p）.,2 =2 .2)4()8(pp13解得 p= ,故所求抛物线的方程为 y2= x.55810.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线 =1（a0,b0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，2已知抛物线与双曲线的一个交点为 ，求抛物线与双曲线方程.6,3解 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p=2c.抛物线方程为y2=4cx.抛物线过点 ，6=4c .6,2323c=1，故抛物线方程为 y2=4x.又双曲线 =1 过点 ，2bax6, =
12、1.又 a2+b2=c2=1.649 =1.a 2= 或 a2=9（舍）.21a41b 2= ，故双曲线方程为 4x2- =1.433y11.如图所示，倾斜角为 的直线经过抛物线 y2=8x 的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点.（1）求抛物线焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；（2）若 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2 为定值， 并求此定值.（1）解 由已知得 2 p=8, =2,抛物线的焦点坐标为 F（2，0） ，准线方程为 x=-2.（2）证明 设 A（x A，y A） ，B（x B，y B） ，直线 AB 的斜率为 k=ta
13、n ,则直线方程为 y=k(x-2),将此式代入 y2=8x,得 k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,故 xA+xB= ,)(4记直线 m 与 AB 的交点为 E（x E,yE)，则xE= = ,yE=k(xE-2)= ,22)(k4故直线 m 的方程为 y- =- ,412令 y=0,得点 P 的横坐标 xP= +4,k故|FP|=x P-2= 2)1(4k= 2sin4,|FP|-|FP|cos2 = (1-cos2 )= =8,为定值.i 2sin412.已知点 P（-3，0） ，点 A 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴非负半轴上，点 M 在直线 AQ 上，满足 =0，PAM=- .
14、AM23Q（1）当点 A 在 y 轴上移动时，求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）设轨迹 C 的准线为 l,焦点为 F，过 F 作直线 m 交轨迹 C 于 G，H 两点，过点 G 作平行于轨迹 C 的对称轴的直线 n,且 nl=E，试问点 E，O，H（O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由.解 （1）设 M（x,y）为轨迹上任意一点，A（0,b）,Q(a,0)(a0),则 =（x,y-b） ， =(a-x,-y), =- ，23（x，y-b）=- （a-x，-y） ， ，从而 .yb23)(yb213A ，且 = , = .1,0PAMyx3, =0，PM =0，即 3x- y2=0,2,3yyx,4y 2=4x,故 M 点的轨迹方程为 y2=4x.(2)轨迹 C 的焦点为 F（1，0） ，准线为 l:x=-1,对称轴为 x 轴.设直线 m 的方程为 y=k(x-1)(k0),由 ky2-4y-4k=0,k4)(2设 G（x 1,y1）,H(x 2,y2),则由根与系数的关系得，y 1y2=-4,又由已知 =（-1，y 1), = ,OE24(-1)y 2-y1 =-y2- y2=-y2+y2=0, ,故 O，E，H 三点共线.41E
