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1、5/29/2019,第4章 稳定性与李雅普诺夫方法,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,4.3 李雅普诺夫第二法,李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数，从能量的角度直接判断系统稳定性。,思路：对于一个给定的系统，如果能够找到一个正定的标量函数V(x)（广义能量函数）,显然可以根据该函数的导数 来确定能量随着时间的推移是减小的，还是增加的，或者是保持不变的。,5/29/2019,（3） ，则称 是负定的。,4.3 李雅普诺夫第二法,1. 标量函数符号性质,设 是向量 x 的标量函数，且在 x=0 处，恒有 对所有在定义域中的任何非零向量 x，如果成立：,4.3.1 预备知识,（1）
2、，则称 是正定的。,（2） ，则称 是半正定(非负定)的。,（4） ，则称 是半负定(非正定)的。,（5） ，或 则称 是不定的。,5/29/2019,例 设,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,2. 二次型标量函数,二次型标量函数可写为,其中，P为实对称矩阵。,例如：,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T， 通过变换 ，使之化为：,此称为二次型函数的标准型， 为P的特征值，则 正定的充要条件是P的特征值 均大于0。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,矩阵P的符号性质定义如下： 设 P 为nn实对称阵， 为由 P 决
3、定的二次型函数，则 （1） 正定，则 P 正定矩阵，记为 P0; （2） 负定，则 P 负定矩阵，记为 P0; （3） 半正定，则 P 半正定矩阵，记为 P0; （4） 半负定，则 P 半负定矩阵，记为 P0;,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,3、希尔维斯特判据 设实对称阵 为其各阶顺序主子式，即 矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,(2)若 ，则 P 负定；,(1)若 ， 则 P 正定；,(3)若 ，则 P 半正定；,(4)若 ，则 P 半负定；,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,解：二次型 可以写为,例 证明如下二次
4、型函数是正定的。,可见此二次型函数是正定的，即,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即， 如果存在标量函数V(x)满足： 1） 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的； 3）若 是半负定的。 则平衡状态 为在李亚普诺夫意义下的稳定。,4.3.2 几个稳定性判据,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,4.3.2 几个稳定性判据,定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即， 如果存在标量函数V(x)满足： 1） 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的； 3）若 是负定的；或者 为半负定，对任意初始状态 ，除去x=0外，有 不恒为
5、0。 则平衡状态 是渐近稳定的。 进一步当 ，有 ，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,4.3.2 几个稳定性判据,定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即， 如果存在标量函数V(x)满足： 1） 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的； 3）若 是正定的。 则平衡状态 是不稳定的。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,说明： （1） ，则此时 ，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。 （2） 不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。 （3）稳定判据只是充分条件而非
6、必要条件！,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,解: 显然，原点 是系统平衡点， 取 ，则 又因为当 时， 有 ，所以系统在原点处 是大范围渐近稳定的。,例4-4 已知系统 试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,【例 4-5】已知系统的状态方程，试分析平衡状态的稳定性。 解：线性系统，故 是其唯一平衡点。 将矩阵形式的状态方程展开得到： 取标量函数(李雅谱诺夫函数)：,且当 时， ，,4.3 李雅普诺夫第二法,半负定，不恒为0，渐近稳定。,所以系统在其原点处大范围渐近稳定。,5/29/2019,另选一个李雅普诺夫函数：,当 时， ，所以系
7、统在其原点处大范围渐近稳定。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,解: 系统具有唯一的平衡点 。取 则 于是知系统在原点处不稳定。,例4-8 系统的状态方程为 试确定系统在其平衡状态的稳定性。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 （1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数； （2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定； （3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的结论是一致的； （4）V(x)最简单的形式是二次型 ； （5）V(x)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息； （6）构造V(x) 需要一定的技巧。,4.3 李雅普诺夫第二法,
