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1、专题2.3 函数、数列、三角函数中大小比较问题（讲）-2017年高考二轮复习数学（文）（附解析） 纵观近几年高考对于大小比较问题的考查，重点放在与函数、数列、三角函数的大小比较问题上，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答，从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 函数中的大小比较问题函数是高中数学必修教材中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用判断单调性、最值、单调性、奇偶性、周期
2、性等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路.1.1 指数函数中的大小比较问题 比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用例1. 设，则，的大小关系是（ ）A B C D【答案】A.1.2 对数函数中的大小比较问题
3、 比较对数值的大小时，要注意区分对数底数是否相等，是用对数函数的单调性，还是用对数函数的单调性，要注意对数函数图象的应用，还应注意中间量0，1等的运用例2. 【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】已知，那么有（ ）A B C D【答案】C【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以，故选C1.3 通过求函数的最值证明不等式 在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.例3. 已知函数（其中，是自然对数的底数（1） 若，判断函数在区间上的单调性；（2）
4、若函数有两个极值点，求的取值范围；（3） 在（2）的条件下，试证明：.【答案】（1）在上单调递减；（2）实数的取值范围是；（3）见解析. 2 数列与不等式相结合数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视预计在高考中，比较新颖
5、的数列与不等式选择题或填空题一定会出现数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题2.1 数列中的不等问题例4. 若等差数列满足，则当 时，的前项和最大.【答案】.【解析】由等差数列的性质，又，故数列的前项最大.2.2 数列参与的不等式证明 此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的例
6、5.【2016年高考四川理数】已知数列 的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q0， .（）若 成等差数列，求的通项公式；（）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.【答案】（）；（）详见解析.所以.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率 由解得.因为，所以.于是，故.3 三角函数的最值与综合运用1. 掌握求三角函数最值的常用方法：配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；数形结合法（常用到直线的斜率关系）；换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；基本不等式法等.2. 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意
7、题设中所给出的区间.（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性；（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.3.1 解三角形中的最值问题例6.【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】在中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为( ) A4 B C D2 【答案】C3.1 与三角函数有关的最值问题 例7. 【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数.（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数在区间的最大值及所对应的值.【答案】（I），；（II）最大值为,.【反思提升】综合上面的三种类型，解决函数、数列、三角函数中的大小比较问题，解答时首先要找准模型，通过转化来解决，一般情况下，此类问题是几个知识点的交汇，需综合不等式、函数等性质解题.大小比较问题是函数、数列、三角函数的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点，同时也是高中数学必修课中的几大内容之一，解决大小问题不仅会用到函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和图象，同时，常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用最值来求解.
